Los conjuntos compactos disjuntos en un espacio de Hausdorff pueden separarse

Question

Quiero demostrar que dos conjuntos compactos disjuntos en un espacio de Hausdorff $X$ pueden estar separados por conjuntos abiertos disjuntos. ¿Podría decirme si lo siguiente es correcto? No es para los deberes, sólo estoy estudiando para un examen parcial. También estoy tratando de mejorar mi escritura.

Mi trabajo:

Dejemos que $C$ , $D$ sean conjuntos compactos disjuntos en un espacio de Hausdorff $X$ . Ahora arregla $y \in D$ y para cada $x \in C$ podemos encontrar (usando Hausdorffness) conjuntos abiertos disjuntos $U_{x}(y)$ y $V_{x}(y)$ tal que $x \in U_{x}(y)$ y $y \in V_{x}(y)$ . Ahora la colección $\{U_{x}: x \in C\}$ cubre $C$ por lo que por compacidad podemos encontrar algún k natural tal que

$C \subseteq \bigcup_{i=1}^{k} U_{x_{i}}(y)$

Ahora, para simplificar, dejemos que $U = \bigcup_{i=1}^{k} U_{x_{i}}(y)$ entonces $C \subseteq U$ y que $W(y) = \bigcap_{i=1}^{k} V_{x_{i}}(y)$ . Entonces $W(y)$ es una vecindad de $y$ y disjuntos de $U$ .

Ahora considere la colección $\{W(y): y \in D\}$ Esto cubre D, así que por compacidad podemos encontrar alguna q natural tal que $D \subseteq \bigcup_{j=1}^{q} W_{y_{j}}$ .

Por último, fijar $V = \bigcup_{j=1}^{q} W_{y_{j}}$ entonces $U$ y $V$ son conjuntos abiertos disjuntos que contienen $C$ y $D$ respectivamente.

¿Qué te parece?

Answer 1

Este es un muy buen comienzo, pero hay un pequeño problema con su argumento: al cambiar $y$ , su $U$ también cambia (ya que $U$ se construye en términos de $y$ ); en realidad debería llamarse $U(y)$ .

Su construcción le da un barrio abierto $W(y)$ de $y$ para cada $y$ ; $W(y)$ es disjunta de $U(y)$ . Pero por lo que sabes, $W(y)$ puede no ser disjunta de $U(y')$ con $y'\neq y$ .

Así que realmente aún te queda un poco más antes de terminar.

Answer 2

Primero demuestre el lema:

Dejemos que $X$ sea Hausdorff y $A$ ser compacto y $p \notin A$ . Entonces existen conjuntos abiertos $U$ y $V$ tal que $A \subseteq U$ , $p \in V$ y $U \cap V = \emptyset$ .

La prueba sigue su idea: para cada $a \in A$ elegimos $U(a)$ abierto y $V(a)$ abiertos y disjuntos tales que $a \in U(a), p \in V(a)$ por Hausdorffness. El $\{U(a): a \in A\}$ portada $A$ por construcción así que por compactación de $A$ tenemos un número finito de $a_1, \ldots a_n$ tal que

$$A \subseteq U:=\bigcup_{i=1}^n U(a_i)$$

y como tenemos un número finito de correspondientes $V(a_i)$ también, $p \in V:= \bigcap_{i=1}^n V(a_i)$ que luego se abre. Y ningún punto está en $U \cap V$ o sería en algún $U(a_i)$ (de $U$ siendo una unión) y también en el mismo $V(a_i)$ ( $V$ siendo la intersección), contradiciendo la forma en que fueron elegidos. Así que $U$ y $V$ son los requeridos. QED para el lema.

Ahora aplique el lema repetidamente para $c \in C$ y $D$ cuando estos son compactos disjuntos. Obtenemos $U(c)$ y $V(c)$ barrios disjuntos de $c$ y $D$ (!) ahora, la compacidad nos permite tomar una unión finita de $U(c)$ como $U$ y la correspondiente intersección de $V(c)$ 's funcionará de nuevo, el mismo argumento esencialmente.

Así que en dos pasos es más limpio. Hacer visible el paso intermedio.

Answer 3

$U=k_i=Ux_i(y)$ podría reunirse $V$ Así que para evitar este problema, utilice la compacidad del segundo conjunto. Creo que si tu demostración es completamente correcta, no necesitamos suponer la compacidad de los dos. y consideramos simplemente $V=w(y)$ ; $y$ en $D$