¿Es esta una forma correcta de probar que t no es una transformación lineal?

Question

Tengo el siguiente transformación $T:\mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R}^3$ definido por $T\left( x, y \right) = \left( y, x, x^2 + y^2 \right).$ sé que la transformación no es lineal, pero quisiera probarlo, así que me deviced la siguiente "prueba".

Sabemos que cada transformación lineal $T$ tiene una única representación de la matriz para el estándar de la base de $\mathbb{R}^2,$, que está dada por $$A = \left[ \begin{array}{ccc} T(\mathbf{e}_1) & T(\mathbf{e}_2) \\\end{array} \right],$$ y esta matriz $A$ me mueva de nuevo a la transformación lineal por $T\left( \mathbf{x} \right) = A \mathbf{x}.$

Así que, me suponga $T$ es una transformación lineal y construir estándar de representación de la matriz, que sería de $$A = \left( \begin{array}{ccc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{array} \right).$$

Ahora, para obtener mi original transfomation de nuevo tendría que hacer $$T\left( \mathbf{x} \right) = \mathbf{x} = \left( \begin{array}{ccc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{ccc} x \\ y \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} y \\ x \\ x+y \end{array} \right).$$

Desde esta transformación tengo no es original, yo la conclusión de $T$ no es una transformación lineal.

Mi pregunta es, el anterior razonamiento es correcto?

Y, en general, se puede aplicar este método para demostrar o refutar cualquier transformación es una transformación lineal?

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EDITAR:

Por favor, no sugegst métodos alternativos de prueba; yo las conozco bien. Todo lo que necesito es saber si el método descrito obras.

Answer 1

Supongamos que en lugar de $\mathbb R$ nos había utilizado el campo $\mathbb Z_2 = \mathbb Z/(2\mathbb Z),$ en otras palabras, el conjunto de $\{0,1\}$ con las operaciones habituales $+$ $\cdot$ modulo $2.$

Ahora estaríamos preguntando acerca de la $T: \mathbb Z_2^2 \to \mathbb Z_2^3,$ con $T\left( x, y \right) = \left( y, x, x^2 + y^2 \right).$

Cada parte de tu prueba funcionar tan bien como lo hizo para $T: \mathbb R^2 \to \mathbb R^3,$ con la excepción de la conclusión. La conclusión sería falso, porque $x^2 + y^2 = x + y$ al $x, y \in \mathbb Z_2.$

Yo no veo ningún punto en la prueba donde la invocación de cualquier propiedad de $\mathbb R$ que $\mathbb Z_2$ no tiene. Por lo tanto, yo diría que la prueba no es válida.

Con el fin de hacer una prueba válida, usted podría invocar (por ejemplo) el hecho de que $\mathbb R$ contiene un elemento llamado $2$ que es distinta de la $0$ $1,$ y que podría haber usado las propiedades de ese elemento para encontrar un contraejemplo a la declaración de $x^2 + y^2 = x + y$ $x,y \in \mathbb R.$

Creo que es de destacar que utilizó muchos más hechos que usted necesita en esta prueba, que creo que también es una mala cosa que hacer en una prueba, pero, por supuesto, que de por sí no invalidar la prueba.

Answer 2

Creo que su introducción de la matriz de $A$ difícil de seguir, ya $T$ es no-lineal. Todavía no he satisfecho de mí mismo que es de sentido común; mis preguntas serían: i.) puede mostrar todos sus pasos en la construcción de $A$$T$? ii.) ¿por qué introducir $A$, cuando se puede trabajar directamente desde $T$?

Un problema que tengo es que, asumiendo $T$ es lineal, no es lo mismo que asumiendo $T(x, y) = (x, y, x + y)$, que es lo que creo que su matriz $A$ representa. Nos iría mejor a tomar $T(x, y) = (x, y, c_x x + c_y y)$ arbitrarias $c_x, c_y \in \Bbb R$. Entonces, ¿qué sucede con $A$? Establecimiento $T(x, y) = (x, y, c_x x + c_y y)$ conserva las dos primeras coordenadas, y es el más general lineal $T$ a hacerlo.

Para mostrar que $T$ es no lineal, todo lo que necesitamos hacer es mostrar que viola al menos un axioma de la linealidad, que se puede hacer sin la introducción de $A$. Trabajamos de $T$ directamente:

$T(x, y) = (x, y, x^2 + y^2), \tag 1$

consideramos $T(\alpha x, \alpha y)$$0, 1 \ne \alpha \in \Bbb R$. Tenemos:

$T(\alpha x, \alpha y) = (\alpha x, \alpha y, \alpha^2 x^2 + \alpha^2 y^2) = \alpha (x, y, \alpha x^2 + \alpha y^2)$ $\ne \alpha (x, y, x^2 + y^2) = \alpha T(x, y); \tag 2$

(2) tiene siempre como $\alpha \ne 0, 1$, es decir, por la mayoría de la real $\alpha$; pero (2) es una violación directa de la linealidad axioma $T(\alpha x, \alpha y) = \alpha T(x, y)$.

Por lo tanto, $T$ es no lineal.

Answer 3

Sugerencia

$T$ es lineal iff $T(\alpha (x,y)+\beta (u,v))=\alpha T((x,y))+\beta T((u,v)).$

Es $T(2,2)=T(2(1,1)))=2T(1,1)?$

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Te sugiero mi consejo antes de la OP realizó su edición.