Acertijo: Un especial $6$ -número de dígitos

Question

He aquí un acertijo:

Adivinanza : Estoy pensando en un $6$ - $ \underline{ }\, \underline{ }\, \underline{ }\, \underline{ }\, \underline{ }\, \underline{ } $ (sin ceros a la izquierda). Todos los dígitos son distintos. Cuando multiplico el número por $2$ , consigo otro $6$ -número con las mismas cifras pero mezcladas. Lo mismo ocurre al multiplicar por $3,4,5$ et $6$ . ¿En qué número estoy pensando?

Conozco el solución así como la forma de encontrarlo (véase más abajo). Pero mi planteamiento utiliza el ordenador para algunas tareas de multiplicación molestas y agotadoras. Quiero demostrar un enfoque en una pizarra sin ayuda de demasiada potencia de cálculo (calculadora está bien de algunos algunos cálculos) y matemáticas demasiado profundas.

Pregunta : ¿Se te ocurre un bonito/elegante camino sólo para humanos para abordar la solución?

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¡¡Spoiler!!

Estabas avisado. Es divertido pensar en la solución por uno mismo. Pero aquí está:

$142857$ .

Este es mi enfoque. Denotemos por $x\in\Bbb N$ el número que buscamos. Porque $6x$ sigue siendo un número de seis cifras, sabemos que $6x\le 999999\Rightarrow x\le166666$ . Esto nos da el primer dígito:

$$ \underline{1}\, \underline{ }\, \underline{ }\, \underline{ }\, \underline{ }\, \underline{ } $$

Ahora podemos ver que el primer dígito (más a la izquierda) de $nx$ es siempre diferente para distintos valores de $n$ pero nunca $0$ . Como esto genera los seis dígitos posibles de $x$ vemos que el cero no puede ser uno de ellos. Por lo tanto, podemos excluirlo en la siguiente explicación.

A continuación, tratamos de encontrar el último dígito (el de más a la derecha). No puede ser $1$ porque los dígitos son distintos. Así que las opciones restantes son $2,3,4,5,6,7,8,9$ . Este último dígito determina por sí solo el último dígito de los múltiplos $nx,n=1,...,6$ . He aquí cómo:

$$ \begin{array}{c|cccccccc} \times & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ \hline 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ 2 & 4 & 6 & 8 & 0 & 2 & 4 & 6 & 8 \\ 3 & 6 & 9 & 2 & 5 & 8 & 1 & 4 & 7 \\ 4 & 8 & 2 & 6 & 0 & 4 & 8 & 2 & 6 \\ 5 & 0 & 5 & 0 & 5 & 0 & 5 & 0 & 5 \\ 6 & 2 & 8 & 4 & 0 & 6 & 2 & 8 & 4 \\ \end{array} $$

El número de la fila $i$ y columna $j$ muestra el último dígito de $ix$ cuando el último dígito de $x$ es $j$ (calculado mediante $ij\text{ mod }10$ ). Podemos excluir $2,4,5,6$ et $8$ porque el último dígito no puede convertirse en $0$ . Los dígitos restantes $3,7$ et $9$ todos generan un último dígito distinto para diferentes factores, pero sólo $7$ genera el dígito necesario $1$ . Por lo tanto, vemos que el último dígito debe ser $7$ :

$$ \underline{1}\, \underline{ }\, \underline{ }\, \underline{ }\, \underline{ }\, \underline{7} $$

También se obtienen todos los dígitos de $x$ a saber $1,2,4,5,7,8$ y sólo tenemos que organizarlos adecuadamente. Podemos excluir $8$ para el segundo dígito (desde la izquierda) y con algo más de elaboración también podemos excluir $5$ . Pero la parte principal de mi trabajo se vuelve ahora de naturaleza computacionalmente agotadora: nos fijamos ahora en los dos últimos dígitos e introducimos todos los valores posibles para obtener $27,47,57,87$ . Estos determinan completamente los dos últimos dígitos de $nx,n=1,...,6$ . A continuación, escribimos otra tabla como la anterior y excluimos todas las combinaciones menos una por razones diferentes (pero directas). El resultado es

$$ \underline{1}\, \underline{ }\, \underline{ }\, \underline{ }\, \underline{5}\, \underline{7} $$

Ahora hacemos esto para los tres últimos dígitos, luego los cuatro últimos $-$ etc. $-$ hasta que nos quedamos con la solución mencionada anteriormente. En particular, la solución es única.

Como puedes ver, la generación de estas tablas de multiplicar es bastante molesta y aburrirá a cualquiera que me esté escuchando. Yo realmente dar la bienvenida a un enfoque más elegante.

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Por supuesto, dada la solución es muy fácil comprobar que efectivamente lo es. Pero la elegancia que estoy buscando es una manera de ver esto sin realmente calcular $nx,n=1,...,6$ . He aquí algunas observaciones sobre la solución que podrían ayudar a encontrar un enfoque más elegante.

• La solución es exactamente $999999\div 7$ .
• La solución es un período de la expansión decimal de $1/7$ .
• Las permutaciones de dígitos son en realidad desplazamientos cíclicos.

¿Qué tiene de especial $7$ para generar una cifra tan asombrosa? Tal vez el camino a seguir sea buscar generalizaciones.

Answer 1

Ya sabes que el número tiene que ser de la forma $$ \underline{1}\, \underline{ }\, \underline{ }\, \underline{ }\, \underline{ }\, \underline{\color{green}{7}} $$

Ahora que $$\color{green}7\times 2=1\color{red}{4},\quad \color{green}7\times 4=2\color{red}{8}, \quad \color{green}7\times 5=3\color{red}{5},\quad \color{green}7\times 6=4\color{red}{2}$$ vemos que los otros dígitos tienen que ser $4,8,5,2$ .

Las dos últimas cifras deben ser $57$ desde $$27\times 4=1\color{red}{0}8,\quad 87\times 3=2\color{red}{6}1,\quad 47\times 2=\color{red}{9}4$$

Las tres últimas cifras deben ser $857$ desde $$457\times 2=\color{red}{9}14,\quad 257\times 4=1\color{red}{0}28$$

Las cuatro últimas cifras deben ser $2857$ desde $$4857\times 2=\color{red}{9}714$$

Answer 2

Por qué $7$ puede ser especial

Para entender por qué el $7$ es tan relevante para la solución del problema original, veamos cómo generar muchos problemas similares y sus soluciones. Supongamos que queremos un $k$ -número de dígitos $x$ para lo cual $nx$ consta de los mismos dígitos. He aquí cómo encontrar tales números:

Elija algunos $\mu$ que divide $10^k-1$ . A continuación, calcule $x_i$ et $n_i$ como cociente y resto mediante

\begin{align} 10^1\;:\;\mu\; &= \;\color{red}{x_1} \quad && \text{remainder } \color{blue}{n_1},\\ 10^2\;:\;\mu\; &= \;\color{red}{x_2} \quad && \text{remainder } \color{blue}{n_2},\\ 10^3\;:\;\mu\; &= \;\color{red}{x_3} \quad && \text{remainder } \color{blue}{n_3},\\ &\;\;\vdots\\ 10^k\;:\;\mu\; &= \;\color{red}{x_k} \quad && \text{remainder } \color{blue}{n_k}. \end{align}

Entonces el número $x:=\color{red}{x_1...x_k}$ ( $x_i$ son los dígitos) es una solución a este problema en el sentido de que $\color{blue}{n_i}x$ tiene exactamente los mismos dígitos (contados con multiplicidad) que $x$ para todos $i=1,...,k$ (para una prueba, véase la sección siguiente). Obsérvese que

• $x$ es exactamente $(10^k-1)/\mu$ considerado como $k$ -(tal vez añadiendo ceros a la izquierda), y
• $x$ aparece como punto de la expansión decimal de $1/\mu$ .

Pruébelo por $k=6$ . Usted nota que

$$10^6-1=999\,999=3\times3\times3\times7\times11\times13\times37.$$

Así que podemos elegir $\mu=7$ (aquí es donde lo "especial" de $7$ proviene de $-$ divide $10^6-1$ ). De este modo se obtendrá $x=142857$ así como $n_i\in\{1,2,3,4,5,6\}$ como se esperaba. ¿Qué hace que $7$ especial como factor de $999\,999$ es el hecho de que genera como $n_i$ todos los números enteros consecutivos $1,...,6$ . Esto puede verse como una coincidencia teórica de números. La distribución exacta del $n_i$ es aburrido o mucho menos estructurado para otros valores de $\mu$ . Ej.

• Elegir $\mu=3$ producirá $x=333\,333$ et $n_i=1$ y nada más. Se trata, por supuesto, de una solución muy trivial.
• Elegir $\mu=13$ producirá $x=\color{lightgray}076923$ et $n_i\in\{1,3,4,9,10,12\}$ . Toma, $x$ es un $6$ -sólo cuando lo consideramos con un cero a la izquierda. Además, el $n_i$ están menos "bien" distribuidos.

Podemos decir que $7$ proporciona la mayor solución no trivial $142857$ para $k=6$ y también la solución no trivial más pequeña que no tenga ceros a la izquierda (y esto era en realidad una restricción necesaria del enunciado del problema para que la solución fuera única).

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Resultado principal y prueba

Para que esta respuesta sea completa, demostremos que el procedimiento descrito funciona realmente.

Teorema . Sea $\mu$ sea un divisor de $10^k-1$ . Defina $N:=\{10^i \text{ mod } \mu\mid i\in\Bbb N\}$ . T $$x:=\frac{10^k-1}\mu$$ es un $k$ -(posiblemente después de añadir ceros a la izquierda) y $nx$ tiene los mismos dígitos (contados con multiplicidad) que $x$ para todos $n\in N$ .

Prueba .

Digamos $x$ es el $k$ -número de dígitos $x_1...x_k$ (con dígitos $x_i\in\{0,...,9\}$ ). Entonces el número racional

$$\frac1\mu=\frac{x}{10^k-1}=0.\overline{x_1...x_k}$$

tiene un patrón decimal recurrente en la forma de los dígitos de $x$ . Esto es un hecho bien conocido y puede demostrarse utilizando series gemeotricas. Obsérvese que

$$\frac{10^i}\mu = x_1...x_i.\overline{x_{i+1}...x_kx_1...x_i}$$

es de nuevo un número racional con un patrón decimal recurrente de longitud $k$ que se desplaza en $i$ dígitos a la izquierda y, por tanto, contiene los mismos dígitos (contados con multiplicidad) en cada período, pero desplazados cíclicamente.

Ahora toma un poco de $n\in N$ . Queremos demostrar que $nx$ tiene los mismos dígitos que $x$ . Por definición de $N$ hay algo de $i\in\Bbb N$ con $10^i\equiv n \pmod \mu$ o $10^i=a\mu+n$ para algunos $a\in\Bbb N_0$ . Dividir por $\mu$ encontrar

$$\frac{10^i}\mu=a+\frac n\mu.$$

Tenga en cuenta que $n\in\{0,...,\mu-1\}$ Por lo tanto $n/\mu<1$ . Por lo tanto, el lado derecho se separa completamente en la parte entera (dada por $a$ ) y la parte fraccionaria (dada por $n/\mu$ ). Ya sabemos que la parte fraccionaria del lado izquierdo es

$$0.\overline{x_{i+1}...x_kx_1...x_i}=\frac{x_{i+1}...x_kx_1...x_i}{10^k-1}$$

y por lo tanto este debe ser el valor de $n/\mu$ . Por último utilizar que $x=(10^k-1)/\mu$ encontrar

$$nx=(10^k-1)\frac n\mu = (10^k-1)\frac{x_{i+1}...x_kx_1...x_i}{10^k-1}=x_{i+1}...x_kx_1...x_i$$

y por lo tanto $nx$ consiste de hecho en una versión desplazada cíclicamente de los dígitos de $x$ . $\quad\square$

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Cómo resolver el enigma

Dado el teorema anterior, esto nos proporciona una forma muy elegante de encontrar la solución del enunciado del problema en la pregunta.

En $\mu$ divide $999\,999$ et $x=(10^6-1)/\mu$ por lo que también $x$ divide $999\,999$ . Pero entre estos divisores, $142857$ es el sólo $6$ -Número de un dígito sin ceros a la izquierda ni dígitos repetidos (puede comprobarse a mano, sólo hay unos pocos candidatos razonables). Así que si hay una solución (donde las permutaciones de dígitos son desplazamientos cíclicos), ¡debe ser ésta! Si no desea calcular los múltiplos de $142857$ basta con demostrar que $\mu=7$ genera $N=\{1,2,3,4,5,6\}$ y hemos terminado.

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Evitar los ceros a la izquierda

Resulta que podemos eliminar los ceros a la izquierda multiplicando $x$ con un $n_i\ge p/10$ . El número resultante $y:=n_ix$ tendrá la misma propiedad agradable que $x$ cuando se multiplica por $m_j:=n_j/n_i$ para todos $j$ que hacen $m_j$ un número entero.

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Ejemplos

He aquí algunos ejemplos que he encontrado a partir de las consideraciones anteriores:

• El número $x=307692$ ( $p=13$ , $k=6$ ) tiene los mismos dígitos que $nx$ para $n\in\{1,3,4\}$ . Se puede encontrar como el período de $4/13$ . Sin eliminar los ceros a la izquierda, el número $x=\color{lightgray}076923=(10^6-1)/13$ tiene los mismos dígitos que $nx$ para $n\in\{1,3,4,9,10,12\}$ .

• El número $x=1176470588235294$ ( $p=17$ , $k=16$ ) tiene los mismos dígitos que $nx$ para $n=1,...,8$ . Se puede encontrar como el período de $2/17$ . Sin eliminar los ceros a la izquierda, el número $x=\color{lightgray}0588235294117647=(10^{16}-1)/17$ tiene los mismos dígitos que los múltiplos $nx$ para $n=1,...,16$ .

• El número $x=105263157894736842$ ( $p=19$ , $k=18$ ) tiene los mismos dígitos que $nx$ para $n=1,...,9$ . Se puede encontrar como el período de $2/19$ . Sin eliminar los ceros a la izquierda, el número $x=\color{lightgray}052631578947368421=(10^{18}-1)/19$ tiene los mismos dígitos que los múltiplos $nx$ para $n=1,...,18$ .

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Preguntas abiertas

La discusión anterior sólo toca el caso de las permutaciones cíclicas. Hay otros casos, y no son raros. Por ejemplo, los múltiplos de

$$x=123456789$$

son permutaciones de dígitos para $n=1,2,4,5,7,8$ y ninguna de ellas es una permutación cíclica. No he investigado sobre cómo generar ejemplos como estos.

Answer 3

A partir de $$x=1 \,\_\,\_\,\_\,\_\, 7$$ También sabemos, que el resto de dígitos son $4,8,5,2$ (desde su mesa)

Ahora, al duplicar nuestro número obtenemos $$2x=2 \,\_\,\_\,\_\,\_\, 4 \\\text{ or }\\2x= \color{red}{3} \,\_\,\_\,\_\,\_\, 4 $$ $3$ no está en nuestro conjunto de dígitos, por lo que $$2x=2 \,\_\,\_\,\_\,\_\, 4$$ Para obtener $2$ como primer dígito en $2x$ el segundo dígito de $x$ tiene que ser inferior a $5$ Así que $$x=12\,\_\,\_\,\_\, 7 \\\text{ or }\\x= 14\,\_\,\_\,\_\, 7 $$ Consideremos 2 casos:

1. $$x=14\,\_\,\_\,\_\, 7$$ En este caso $$2x=28\,\_\,\_\,\_\, 4$$ Para obtener $8$ como segundo digint en $2x$ el tercer dígito de $x$ tiene que ser inferior a $5$ Así que $$x=142\,\_\,\_\, 7$$ y $$2x=285\,\_\,\_\, 4$$ $5$ como el tercer dígito de $2x$ significa que $4$ ª cifra en $x$ es mayor o igual que $5$ . Los dos dígitos restantes son $\geq 5$ así que probemos ambos: $$x_1=142857\text{ or } x_2=142587$$ multiplicando esto obtenemos: $$2x_1=285714\text{ or } 2x_2=285174$$ $$3x_1=428571\text{ or } 3x_2=42\color{red}{776}1$$ $x_2$ multiplicado 3 veces nos dio un número con dos dígitos $7$ y dígito prohibido $6$ Así que $x_2$ no es válido. Continúe multiplicando con $x_1$ : $$4x_1=571428$$ $$5x_1=714285$$ $$6x_1=857142$$

   Así $x=142857$ es la solución adecuada

2. $$x=12\,\_\,\_\,\_\, 7 $$ y $$2x=25\,\_\,\_\,\_\, 4 $$ $5$ como el segundo dígito de $2x$ significa que $3$ rd digin in $x$ tienen que ser $\geq 5$ . Tenemos entonces: $$x_1=125\,\_\,\_\, 7 \text{ or }x_2=128\,\_\,\_\, 7$$ Así que..: $$2x_1=251\,\_\,\_\, 4 \text{ or }2x_2=257\,\_\,\_\, 4$$ Repitiendo este razonamiento obtenemos: $$x_1=1258\,\_\, 7 \text{ or }x_2=1285\,\_\, 7$$ $$2x_1=2517\,\_\, 4 \text{ or }2x_2=2571\,\_\, 4$$ En ambos casos tenemos que rellenar el hueco con $4$ pero significa que $5$ ª cifra en $2x$ sería $9$ pero este dígito no está permitido, por lo que este caso lleva a la contradicción.