Verificar una ecuación tiempo polinómica en (el recíproco) la proporción áurea

Question

Estoy tratando de mostrar que la siguiente ecuación es cierto:

$$4\sigma^{12}+11\sigma^{11}+11\sigma^{10}+9\sigma^9+7\sigma^8+5\sigma^7+3\sigma^6+\sigma^5+\sigma^4+\sigma^3+\sigma^2+\sigma = 1 + 2\sigma$$

donde $\sigma$ es el recíproco de la proporción áurea; es decir, $\sigma := \frac12(\sqrt{5} - 1)$.

Debe haber una buena manera de mostrar esto. Sin embargo, hasta ahora todos mis intentos han fracasado.

Este problema tiene una aplicación real. Si usted está interesado en el fondo echa un vistazo a Un nuevo Vistazo a la Peg Solitaire^[1] y, en particular, en la Figura 9.

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[1] G. I. Bell [2007], Una nueva mirada a la peg solitaire, Matemáticas. Mag. 80(1), 16-28, MR2286485

Answer 1

$$\begin{align} &\quad 4 s^{12} + 11 s^{11} + 11 s^{10} + 9 s^9 + 7 s^8 + 5 s^7 + 3 s^6 + s^5 + s^4 + s^3 + s^2 - s - 1 \\ =&\quad 4 s^{12}+ 4s^{11}-4 s^{10} \\ &\quad \phantom{4 s^{10}} + 7 s^{11}+7s^{10} - 7 s^9\\ &\quad \phantom{4 s^{10} + 7 s^{11}}+8s^{10} + 8 s^9 - 8 s^8\\ &\quad\phantom{4 s^{10}+7 s^{11}+7s^{10} }+ 8s^9+8 s^8 - 8 s^7 \\ &\quad\phantom{4 s^{10}+7 s^{11}+7s^{10} + 2s^9}+7 s^8 + 7 s^7 - 7 s^6 \\ &\quad\phantom{4 s^{10}+7 s^{11}+7s^{10} + 2s^9+5 s^8} +6 s^7 +6 s^6 - 6 s^5 \\ &\quad\phantom{4 s^{10}+7 s^{11}+7s^{10} + 2s^9+5 s^8 - 2 s^7}+ 4 s^6 + 4 s^5 - 4 s^4 \\ &\quad\phantom{4 s^{10}+7 s^{11}+7s^{10} + 2s^9+5 s^8 - 2 s^7+ 6 s^6} + 3 s^5 + 3 s^4 - 3 s^3 \\ &\quad\phantom{4 s^{10}+7 s^{11}+7s^{10} + 2s^9+5 s^8 - 2 s^7 - 2 s^6 + 3 s^5} + 2 s^4 +2 s^3 - 2 s^2 \\ &\quad\phantom{4 s^{10}+7 s^{11}+7s^{10} + 2s^9+5 s^8 - 2 s^7 - 2 s^6 + 3 s^5 + 8 s^4} +2 s^3 +2 s^2 - 2 s \\ &\quad\phantom{4 s^{10}+7 s^{11}+7s^{10} + 2s^9+5 s^8 - 2 s^7 - 2 s^6 + 3 s^5 - 2 s^4 - 2 s^3} + 1 s^2 + 1 s -1 \\ =&\quad\left( s^2 + s - 1 \right)\left(\cdots\right) \\ =&\quad 0 \end {Alinee el} $$

Answer 2

Que $t={\large{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}}$.

Entonces $t$ es una raíz del Polinomio cuadrático $p(x) = x^2 + x -1$.

Que $f(x) = 4x^{12}+11x^{11}+11x^{10}+9x^9+7x^8+5x^7+3x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x$.

Luego, usando un CAS, produce división larga polinómica de $f$ $p$ %#% $ de #% donde $$f(x) = q(x)p(x) + r(x)$ concede\begin{align*} q(x) &= 4x^{10}+7x^9+8x^8+8x^7+7x^6+6x^5+4x^4+3x^3+2x^2+2x+1\\[4pt] r(x) &= 2x + 1\\[4pt] \end{align*} por lo tanto, tenemos desde $q,r$, %#% $ #% como se muestra.

Answer 3

Como $\sigma$ verifica la identidad de $\sigma^2=-\sigma+1$, puede realizar las siguientes reducciones (de concisión se han omitido los poderes de $\sigma$):

$$ 4 + 11 + 11 + 9 + 7 + 5 + 3 + 1 + 1 + 1 + 1-1-1, \\ 7 + 15 + 9 + 7 + 5 + 3 + 1 + 1 + 1 + 1-1-1, \\ 8 + 16 + 7 + 5 + 3 + 1 + 1 + 1 + 1-1-1, \\ 8 + 15 + 5 + 3 + 1 + 1 + 1 + 1-1-1, \\ 7 + 13 + 3 + 1 + 1 + 1 + 1-1-1, \\ 6 + 10 + 1 + 1 + 1 + 1-1-1 , \\ 4 + 7 + 1 + 1 + 1-1-1, \\ 3 + 5 + 1 + 1-1-1, \\ 2 + 4 + 1-1-1, \\ 2 + 3-1-1, \\ 1 + 1-1, \\ 0 + 0. $$

Answer 4

Trabajar con $x$ $\sigma$. Tienes $$x^2=-x+1$$ so $$x^3=x-x^2=+2x-1$$ $$x^4=x^2-x^3=-3x+2$$ and you will find (without surprise) that the Fibonacci numbers appear, so you can write down $% $ $x^5=+5x-3, x^6=-8x+5 \dots$y esto pueden ser una manera eficiente de reducir a una expresión lineal.