Derivado de $(x-1)(x-2)(x-3) \cdots (x-10)$ $x=6$

Question

Puedo ver que aplicando la regla de producto resultantes todas las expresiones que contengan $(x-6)$ pasaría a ser cero, por lo tanto dejando $(1)(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)(x-7)(x-8)(x-9)(x-10)$, que $x=6$, $2880$. Sin embargo, no sé cómo escribir formalmente un método conciso para encontrar esta solución.

Answer 1

$P(x)=\prod\limits_{k=1}^{10}(x-k)=(x-6)Q(x)$ donde $Q(x)=\prod\limits_{k=1\\k\neq 6}^{10}(x-k)$

$P'(x)=Q(x)+(x-6)Q'(x)$

Así $P'(6)=Q(6)+0=Q(6)=2880$

Answer 2

Bueno, depende de las propiedades que usted tendrá como dado. Digamos de la regla del producto generalmente ($(fg)'=f'g+fg'$) se puede obtener $$ (fgh)'=f'(gh)+f(gh)'=f'gh+fg'h+fgh',$ $ y así sucesivamente. En un caso general, podría escribir %#% $ #%

Puedes probar desde allí (en su caso, $$\left(\prod_{k=1}^n f_k \right)'=\sum_{k=1}^n f_k' \cdot \prod_{j\not=k} f_j.$ y n = 10).