Cómo mostrar que$\sum_{n=1}^{\infty}{2^n\over (2^n-1)(2^{n+1}-1)(2^{n+2}-1)}={1\over 9}?$

Question

Cómo mostrar

$${2\over (2-1)(2^2-1)(2^3-1)}+{2^2\over (2^2-1)(2^3-1)(2^4-1)}+{2^3\over (2^3-1)(2^4-1)(2^5-1)}+\cdots={1\over 9}?\tag1$$

Podemos reescribir $(1)$ como

$$\sum_{n=1}^{\infty}{2^n\over (2^n-1)(2^{n+1}-1)(2^{n+2}-1)}={1\over 9}\tag2$$

${2 ^ n\over (2^n-1)(2^{n+1}-1)(2^{n+2}-1)} = {A\over 2 ^ n-1} + {B\over 2 ^ {n + 1} -1} + {C\over 2 ^ {n + 2} -1} \tag3$$

${2 ^ n\over (2^n-1)(2^{n+1}-1)(2^{n+2}-1)} = {1\over 3(2^n-1)}-{1\over 2 ^ {n + 1} -1} + {2\over 3(2^{n+2}-1)} \tag4$$

$${1\over 3}\sum_{n=1}^{\infty}{1\over 2^n-1}-\sum_{n=1}^{\infty}{1\over 2^{n+1}-1}+{2\over 3}\sum_{n=1}^{\infty}{1\over 2^{n+2}-1}={1\over 9}\tag5$$

Answer 1

Bien hecho hasta ahora. Ahora cambio los índices en las últimas dos sumas: ${1\over 3} \sum_ {n = 1} ^ {\infty} {1\over 2 ^ n-1}-\sum_ {n = 1} ^ {\infty} {1\over 2 ^ {n + 1} -1} + {2\over 3} \sum_ {n = 1} ^ {\infty} {1\over 2 ^ {n + 2} -1} = \\ {1\over 3} \sum_ {n = 1} ^ {\infty} {1\over 2 ^ n-1}-{\sum_} n = 2} ^ {\infty} {1\over 2 ^ {n} -1} + {2\over 3} \sum_ {n = 3} ^ {\infty} {1\over 2 ^ {n} -1} $ y nota que todos los términos con $n \ge 3$ a cero, por lo que mantenemos sólo los primeros pocos términos: $$=\frac 13 \cdot \frac 1{2-1}+\frac 13\cdot \frac 1{4-1}-\frac 1{4-1}=\frac 19$ $

Answer 2

Estén casi hechas. Nota que la serie de tres en el lado izquierdo de la última línea es convergente y pueden ser escritos como %#% $ #% que equivale a $ {1\over 3} \sum_ {n = 1} ^ {2} {1\over 2 ^ n-1}-\sum_ {n = 2} ^ {2} {1\over 2 ^ {n} -1} + \left(\frac{1}{3}-1+{2\over 3}\right)\sum_ {n = 3} ^ {\infty} {1\over 2 ^ {n} -1} = \frac {1} {9}. $$

Answer 3

Sugerencia: Podemos expresar

$$\frac{1}{2^n-1}=\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{2^{kn}}.$$