La integral dada equivale a
$$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\pi}\sin(x)\sum_{n\geq 0}\frac{(-1)^n}{x+n\pi+1}\,dx &=& \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\pi}\sin(x)\left[\,\psi\left(\tfrac{x+1}{2\pi}+\tfrac{1}{2}\right)-\psi\left(\tfrac{x+1}{2\pi}\right)\right]\,dx\\&=&\int_{\frac{1}{2\pi}}^{\frac{\pi+1}{2\pi}}\sin(2\pi z-1)\left[\,\psi\left(z+\tfrac{1}{2}\right)-\psi(z)\right]\,dz\end{eqnarray*}$ $, que puede ser eficientemente aproximadas usando integración por las piezas y la serie de Fourier de Kummer Malmsten: $$ \log\Gamma(z) = \left (\tfrac12 - z\right) (\gamma + \log 2) + (1 - z) \ln\pi - \tfrac12\log\sin(\pi z) + \frac{1}{\pi}\sum_{n=1}^\infty \frac{\ pecado (2\pi n z) \log n} n$ $ para cualquier $z\in(0,1)$. De hecho es igual la integral original
$$ 2\pi \int_{0}^{1/4}\left[\log\,\frac{\Gamma\left(\tfrac{3}{4}+\tfrac{1}{2\pi}+z\right)\,\Gamma\left(\tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{2\pi}-z\right)}{\Gamma\left(\tfrac{3}{4}+\tfrac{1}{2\pi}-z\right)\,\Gamma\left(\tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{2\pi}+z\right)}\right]\sin(2\pi z)\,dz $ $ donde el término de $\log$ es una función muy regular en el intervalo $\left(0,\frac{1}{4}\right)$, convexa y $$\leq \left(8\log\,\frac{\Gamma\left(\tfrac{1}{2\pi}\right)}{\Gamma\left(\tfrac{1}{2\pi}+\tfrac{1}{2}\right)}-4\log(2\pi)\right)z.$ $
