Si una matriz tiene un determinante igual a 0, significa que no tiene inversa. ¿Cómo es posible encontrar el valor de la matriz elevada a la potencia de 0 igual a la matriz identidad al multiplicar la matriz original con algo indefinido?
¿Es un error matemático, o me falta alguna información importante?
Esta es una buena pregunta.
La razón por la que definimos $A^0 = I$ es para que la identidad $$ A^{m+n} = A^mA^n $$ se cumpla siempre que $m$ y $n$ sean enteros no negativos. Entonces podemos evaluar $p(A)$ para cualquier polinomio $p$, y a veces incluso calcular con series de potencias para obtener cosas como $e^A$.
Todo esto tiene sentido y a menudo es útil independientemente de si $A$ es invertible. Cuando lo es, extendemos la definición para que $A^{-n} = (A^{-1})^n$.
¿Y si $A$ es la matriz cero? ¿Aún estás definiendo $A^0$? Para el caso unidimensional, esto contradiría la convención usual de que $0^0$ es indefinido.
@Qudit $0^0$ es un caso especial. Probablemente es mejor dejarlo indefinido. Pero para evaluar $p(A)$ para un polinomio $p$ que lo define como $I$ hace que todo funcione.
Es más que solo la matriz cero para la que esto es un problema. Si $A = \mathrm{diag}(1, 0)$, entonces tu definición aún implica que $0^0 = 1$. De hecho, lo mismo es cierto para cualquier matriz que no sea invertible si cambiamos la base.
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