Un grupo con dos subgrupos no triviales es cíclico

Question

Deje $G$ ser un grupo. Supongamos que $G$ tiene más de dos subgrupos no triviales. Mostrar que $G$ es cíclico.

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Alguien me puede ayudar por favor a resolver el problema?

Answer 1

Si $G$ no tiene subgrupos no triviales, es claramente cíclico. Si $G$ tiene exactamente un subgrupo no trivial $H$, considerar el subgrupo generado por un nonidentity elemento $g\in G\setminus H$.

Ahora supongamos que $H$ $K$ son los únicos subgrupos no triviales de $G$. Recordemos que un grupo nunca es la unión de dos adecuada de los subgrupos. Así que la selección de un elemento $g\in G\setminus (H\cup K)$. Lo que debe de $\langle g\rangle$?