Hay cualquier número en $\mathbb Z[\sqrt{5}]$ con la norma es igual a 2?

Question

Hay cualquier número de $a+b\sqrt{5}$ $a,b \in \mathbb{Z}$ con la norma (definido por $|a^2−5b^2|$) igual a 2?

Answer 1

Sugerencia $\rm\,\ 2\:|\:a^2\!-\!5b^2\! = (a\!-\!b)(a\!+\!b)\!-\!4b^2\Rightarrow\, 2\:|\:a\pm b\:\Rightarrow\:2\:|\:a\mp b\:\Rightarrow\:4\:|\:a^2\!-\!5b^2$

Answer 2

No.

Desde $a^2-5b^2\equiv a^2\pmod{5}$, los valores de $a^2-5b^2$ debe ser congruente a $0$, $1$, o $4$ modulo $5$, ya que esas son las únicas plazas modulo $5$. Pero ni $2$ ni $-2$ satisfacer esta condición, por lo que es imposible tener $a^2-5b^2=2$ o $a^2-5b^2=-2$$a,b\in\mathbb{Z}$.