Recientemente en mi problema de resolución de clase tuvimos la pregunta: Si $f: [0,\infty) \to \Bbb R$ es una doble función derivable tal que $f''(x) + e^x f(x) = 0$, luego de demostrar que $f$ está acotada.
La solución que encontré fue la de crear una función de $g(x)=f(x)^2 + e^{-x}f'(x)^2$. Mirando a $g'$, tenemos $$g'=2ff' -e^{-x}f'^2 + 2e^{-x}f'f''$$ $$g'=-e^{-x}f'^2+2ff'+2e^{-x}f'f''$$ $$g' = -e^{-x}f'^2 +2e^{-x}f' \left(e^xf + f'' \right) = -e^{-x}f'^2 \leq 0$$ Thus we have that $g$ is a decreasing function. This means that for $x>0$, we have $$g(x) \leq g(0)$$ Since $g(0)=R$ for some constant $R$, we have $$R \geq g(x)=f(x)^2+e^{-x}f'(x)^2 > f(x)^2$$ thus $f^2$ is bounded, so $f$ en sí debe ser acotada.
No es tan duro para demostrar que esto funciona si reemplazamos $e^x$ con cualquier función derivable $k(x)$ que es positivo y creciente en $[0,\infty)$. Por lo tanto tenemos la más general resultado que si $f: [0,\infty) \to \Bbb R$ es una doble función derivable tal que $f''(x) + k(x) f(x) = 0$ $[a,\infty)$ algunos $a \geq 0$ $k(x)$ es positivo, crecientey derivable en a$[a,\infty)$, $f$ está acotada.
Sin embargo, mi maestro también nos dio un problema similar: si $f: [0,\infty) \to \Bbb R$ es una doble función derivable tal que $f''(x) + \frac{1}{x} f(x) = 0$ $[a,\infty)$ algunos $a > 0$, $f$ está delimitado por encima.
Por desgracia para nosotros, nuestro resultado anterior no se aplica, ya que $\frac{1}{x}$ está disminuyendo, en lugar de aumentar en $[a,\infty)$. De hecho, la definición de $g(x)$ de forma análoga como $g(x)=f(x)^2+xf'(x)^2$ nos da ese $g' \geq 0$, por lo que la técnica produce un error. Igualmente las funciones definidas en términos de $f(x)$ $f'(x)$ que he intentado también han fallado a decirme nada sobre el acotamiento de $f$. Sin embargo, dado que existe un grado de intuición necesaria para la competencia tipo de problemas como este, es sin duda muy muy probable que se me olvidó que hace el trabajo.
Voy a mencionar que la definición de $h(x) = \frac{1}{x}f(x)^2 + f'(x)^2$ nos dice que $f'$ debe estar acotada, pero no pude conseguir nada sobre el acotamiento de $f$ fuera de este.
He sido un miembro de stackexchange por un par de meses y yo realmente quería que mi primera vez pregunta a ser algo realmente interesante y creo que he encontrado uno! Dado que el problema que implican $e^x$ generaliza muy bien a todos creciente, positiva, funciones diferenciables, me imagino que una solución del problema que implica a $\frac{1}{x}$ también generalizar a todos los decreciente, positiva, funciones diferenciables, por lo que una prueba de que esto podría proporcionar un resultado muy interesante sobre acotamiento de las funciones que cumplen relativamente simple de las ecuaciones diferenciales. He golpeado un poco de un callejón sin salida en la solución de este problema y me gustaría saber si alguien tiene alguna sugerencia sobre cómo probar esto.