Si usted se siente cómodo con formas diferenciales, aquí está la historia como el mejor yo lo entiendo.
El punto esencial es que una función $f$ de una sola variable puede ser visto como la definición de un camino de $\gamma(t) = (t,f(t))$ en el avión $\mathbb{R}^2$, por lo que si bien puede reescribir la ecuación diferencial para $f$ en términos de $\gamma$, ahora usted puede utilizar las herramientas de la geometría diferencial para obtener un mejor manejo de la ecuación original. De hecho, considerar el general de primer orden de la ecuación diferencial lineal de una función desconocida $f$:
$$
a(t)f^\prime(t) + b(t)f(t) + c(t) = 0.
$$
Si se define la ruta de acceso$\gamma$$\mathbb{R}^2$$\gamma(t) = (x(t),y(t)) := (t,f(t))$, entonces usted puede volver a escribir la ecuación diferencial como
$$
\gamma^\ast\omega = 0
$$
para el $1$-forma
$$
\omega := (b(x)y+c(x))dx+(x)dy,
$$
desde
$$
\gamma^\ast\omega = (b(x(t))y(t)+c(x(t)))x^\prime(t)dt + a(x(t))y^\prime(t)dt = (a(t)f^\prime(t) + b(t)f(t) + c(t))dt.
$$
Ahora, si $\omega$ ya es exacta, es decir, $\omega = dF$ para algunos escalares función de $F$, luego
$$
0 = \gamma^\ast \omega = \gamma^\ast dF = d(F \circ \gamma),
$$
de modo que $F \circ \gamma$ es constante, y por lo tanto, $F(t,f(t)) = C$ da una solución implícita de la ecuación original. Sin embargo, para $\omega$ para ser exactos, no debe ser cerrado, es decir, $d\omega = 0$, que en este caso concreto de los rendimientos
$$
0 = d\omega = (a^\prime(x)-b(x)) dx \wedge dy,
$$
o, equivalentemente,
$$
a^\prime(x) = b(x).
$$
Así que, ¿qué hacer si $\omega$ no está aún cerrado, es decir, si $a^\prime(x) \neq b(x)$? Así, puede intentar encontrar un lugar-desaparición de la función $\mu$, un factor de integración, de tal manera que $\mu\omega$ es cerrado, es decir,
$$
0 = d(\mu \omega ) = d\mu \wedge \omega \mu d\omega.
$$
Si usted puede encontrar esta función en $\mu$, $\gamma^\ast \omega = 0$ si y sólo si $\gamma^\ast (\mu \omega) = 0$ donde $\mu \omega$ es cerrado. Si por otra parte, $\mu \omega$ está definida en una región en el plano sobre el cual cada cerró $1$-formulario es exacta (por ejemplo, su región es contráctiles), a continuación, $\mu \omega$ es exacta, es decir, $\mu \omega = dG$ para algunos escalares función de $G$, e $G(t,f(t))=C$ define implícitamente las soluciones de la ecuación.
Ahora, en nuestro caso concreto,
$$
0 = d\mu \wedge \omega \mu d\omega\\ = (\mu_x(x,y) dx + \mu_y(x,y) dy) \wedge ((b(x)y+c(x))dx+(x)dy) - \mu(x,y)(a^\prime(x)-b(x))dx \wedge dy\\
= (a(x)\mu_x(x,y) - b(x)y+c(x))\mu_y(x,y) - (a^\prime(x)-b(x))\mu(x,y))dx \wedge dy,
$$
o, equivalentemente,
$$
a(x)\mu_x(x,y) - b(x)y+c(x))\mu_y(x,y) - (a^\prime(x)-b(x))\mu(x,y) = 0.
$$
En el caso especial donde $a(x) = 1$, es decir, el original de la educación a distancia se $f^\prime(t) + b(t)f(t) + c(t) = 0$, si se supone que $\mu = \mu(x)$, por lo que el $\mu_y = 0$, esto se reduce a
$$
\mu^\prime(x) - b(x)\mu(x) = 0,
$$
dando la costumbre factor de integración
$$
\mu(x) = \mu(x_0)e^{\int_{x_0}^x b(s)ds}
$$
a partir de los libros de texto.
Por último, permítanme señalar que esta historia puede ser contada en considerable generalidad. Deje $M$ ser un suave colector (por ejemplo, $M$ un subconjunto abierto de $\mathbb{R}^2$, como en el habitual en los libros de texto de educación a distancia), vamos a $\omega \in \Omega^1(M)$ $1$- forma, y consideran que el primer orden de la ecuación diferencial
$$
\gamma^\ast \omega = 0
$$
para un desconocido camino liso $\gamma : (a,b) \to M$. Si $\omega$ ya es exacta, es decir, $\omega = dF$ algunos $F \in C^\infty(M)$, luego
$$
0 = \gamma^\ast \omega = \gamma^\ast dF =d(F \circ \gamma),
$$
de modo que $F \circ \gamma$ es constante, y por lo tanto, $F(\gamma(t)) = C$ le da una forma implícita de la ecuación de $\gamma$. Para $\omega$ para ser exactos, no debe ser cerrado, es decir, $d\omega = 0$. Si no está aún cerrada, puede intentar encontrar un lugar de fuga función escalar $\mu \in C^\infty(M)$, su factor de integración para $\omega$, de tal manera que $\mu\omega$ es cerrado, es decir,
$$
0 = d(\mu \omega) = d\mu \wedge \omega \mu d\omega.
$$
Entonces, si $H^1(M,\mathbb{R}) = 0$, de modo que cada cerró $1$-formulario es exacta, usted puede encontrar una función $G \in C^\infty(M)$ tal que $\mu\omega = dG$, en cuyo caso $G(\gamma(t)) = C$ define una forma implícita de la ecuación de $\gamma$. En particular, la búsqueda de $\mu$ implica resolver potencialmente muy molestos PDE
$$
d\mu \wedge \omega \mu d\omega = 0,
$$
y todo el "vudú" se compone de varios casos especiales (tradicionalmente para $M$ un subconjunto abierto de $\mathbb{R}^2$), donde esta la PDE es realmente manejable.
