Demostración del teorema de Wilson

Question

Teorema de Wilson: si $p$ es primo, entonces $(p-1)! \equiv -1(mod$ $ p)$

Enfoque: $$(p-1)!=1*2*3*....*p-1$$

Mi profesor dijo en clase que el gcd de todo entero menor que p y p es 1, por lo que todo entero tiene un inverso multiplicativo $(mod$ $ p)$ . También dijo que los inversos multiplicativos de cada entero menor que p están en el mismo conjunto de enteros menores que p (Esta idea parece correcta, pero ¿hay que demostrarlo?). los inversos multiplicativos de 1 y p-1 son autoinversos (Dibujando diferentes cuadrículas mod, parece correcto, pero de nuevo ¿cómo es eso cierto?). Concluyó lo siguiente:

$$1*(p-1)*(a_1a_1^{-1}*.....*a_{{p-3}/2}*{a_{{p-3}/2}}^{-1}) \equiv -1(mod\text{ } p)$$

Así que está agrupando todos los elementos con inverso multiplicativo distinto. Esto tiene sentido porque hay p-3 elementos con inversos multiplicativos distintos y p-3 es par, así que podemos agruparlos de dos en dos. ¿Cómo sabemos que un inverso multiplicativo corresponde a un solo número, por lo que podemos agruparlos de una manera tan fácil?.

Answer 1

Tenga en cuenta que si $x$ es un inverso multiplicativo de $a$ modulo $p$ es una solución a la siguiente ecuación lineal diofantina: $xa + py = 1$ . Sumar y restar $ap$ que tenemos: $a(x-p) + p(y+a) = 1$ . Así que todas las soluciones para $x$ son equivalentes entre sí módulo $p$ por lo que podemos elegir uno de la clase de residuos modulo $p$ (el conjunto de enteros no negativos menores que $p$ ).

Para la otra parte ver por qué sólo $1$ et $p-1$ son autoinversos, nótese que tal número debe satisfacer $x^2 \equiv 1 \pmod p \implies p \mid (x-1)(x+1)$ . Así que tenemos que $x \equiv \pm 1 \pmod p \implies x=1 \text{ or } x=p-1$

Answer 2

Se tiene, en efecto, una equivalencia $$p\text{ is prime }\iff(p-1)!\equiv -1\pmod p$$ (1) $\space p\text{ is prime }\Rightarrow(p-1)!\equiv -1\pmod p$

Por el pequeño teorema de Fermat y porque cada una de $1,2,3,...(p-2),(p-1)$ es coprimo con $p$ tenemos $(p-2)!\equiv((p-2)!)^{ p-1}\equiv 1 \pmod p\Rightarrow (p-1)!\equiv (p-1)\cdot 1\equiv -1\pmod p$ .

(2) $\space (p-1)!\equiv -1\pmod p\Rightarrow p\text{ is prime }$ .

Supongamos que $p$ es compuesto entonces sus divisores (positivos) están en $\{1,2,3,...,(p-2),(p-1)\}$ . Esto implica que $\ g.c.d((p-1)!,p)\gt 1$ . Ahora bien $\space (p-1)!\equiv -1\pmod p$ entonces dividiendo por un divisor (propio) $d$ de $p$ y de $(p-1)!$ la igualdad $(p-1)!=-1+pm$ (equivalente a la congruencia) se tiene $d$ debe dividir $-1$ Así de absurdo. $p$ no está compuesto.