Bucle a través de los ceros de los polinomios de

Question

Pregunta.

Si $p$ es un polinomio de grado $n$$p(\alpha)=0$, ¿qué sabemos del polinomio $q$ (con grado de $n-1$) de tal manera que los números de $(q^k(\alpha))_{k=1}^n$ contienen todos los ceros de $p$?

Aquí me denotar $q(q(\cdots q(\alpha)))=q^k(\alpha)$.

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Notas.

Sabemos que es un hecho de tal $q$ existe, ya que siempre existe un polinomio de grado $n-1$ a través de $n$ puntos dados. $q$ no es única, sin embargo, dado que existen múltiples permutaciones que podemos poner los ceros.

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Ejemplos.

Lineal $p$ (escribir $p(x)=a_1x+a_0$), esto es obvio; $q(x)=\tfrac{-a_0}{a_1}=\alpha$ es suficiente. Si $p(\alpha)=0$, $q(\alpha)=\alpha$ son, en efecto, todos los ceros de $p$.

Si $p$ es cuadrática, escribir $p(x)=a_2x^2+a_1x+a_0$, y ha $p(\alpha)=0$ nuevo; ahora $q(x)=\frac{-a_1}{a_2}-x$.

Si $p$ es cúbico, escribir $p(x)=a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0$. Aquí es donde me quedo atascado, ya que las raíces de las ecuaciones cúbicas no son expresiones que son fáciles de trabajar.

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Los intentos.

Primero veo (indicar el (no necesariamente real) ceros por $z_1,z_2,\cdots,z_n$$z_1+\cdots+z_n=\frac{-a_{n-1}}{a_n}$$z_1z_2\cdots z_n=\frac{(-1)^na_0}{a_n}$. Podemos producir expresiones similares para el resto de coeficientes, pero dudo que esto sea útil; incluso no son resolubles por $n>4$. También tenemos (dado $z_1$) $$-a_nz_1^n=a_{n-1}z_1^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0$$ con lo que podemos reducir todas las expresiones de grado $n$ o mayor en $z_1$ a una expresión de grado $n-1$ o menor.

Para $n=3$ (vamos a hacer algunos ejemplos específicos), podríamos escribir $q(x)=b_2x^2+b_1x+b_0$, y tomemos, por ejemplo,$p(x)=x^3-x-1$. Entonces, si $\alpha$ es un cero de $p$,$\alpha^3=\alpha+1$, y por lo $q(\alpha)^3=q(\alpha)+1$, que es

$$(b_2\alpha^2+b_1\alpha+b_0)^3=b_2\alpha^2+b_1\alpha+b_0+1$$

trabajando fuera de los términos constantes da $b_2^3+b_1^3+b_0^3+6b_0b_1b_2=b_0+1$ que no es muy útil.

Por favor, ilumíname. Se ha realizado un trabajo sobre este tema, que me estoy perdiendo algo obvio, o tal vez que vea algo que me perdí?

Answer 1

Para cualquier secuencia de $n$ distintos (complejo) números de $\alpha_1 \ldots \alpha_n$, existe un único polinomio de interpolación de $Q$ grado $n-1$$P(\alpha_i) = \alpha_{i+1}$.

En el caso genérico, los coeficientes de $Q$ $\Bbb Q[\alpha_i, \delta^{-1}]$ donde $\delta = \prod_{i<j} (\alpha_i - \alpha_j)$ (para ser más precisos, $\delta Q \in \Bbb Z[\alpha_i]$)

En el caso de que el $\alpha_i$ son raíces de un polinomio $P$ sin que se repite raíces, entonces para cualquier $n$-ciclo $\sigma$, $Q_\sigma$ se define sobre la división de campo de la $P$, pero a veces es definida sobre un pequeño campo.

Si $G$ es el grupo de Galois de $P$, la acción de la $G$ $Q_\sigma$ corresponde a su acción sobre el conjunto de la $n$-los ciclos de la conjugación.

Si $K = \Bbb Q(a_i)$ es el campo de la definición de $P$ $L_\sigma$ es el campo de la definición de $Q_\sigma$ $n$ciclo $\sigma$, $[ L_\sigma : K ]$ es exactamente el tamaño de la órbita de $\sigma$ bajo esta conjugación de la acción. Desde el normalizador de una $n$-ciclo de trabajo en $S_n$ es el subgrupo de $S_n$ generado por el $n$-ciclo, tenemos que el subgrupo de $G$ la fijación de la $n$-el ciclo de es $G_\sigma = G \cap \langle \sigma \rangle$, y, a continuación,$L_\sigma = \Bbb Q(\alpha_i)^{G_\sigma}$, y, finalmente, $[L_\sigma : K] = |G| / |G_\sigma|$

Por ejemplo, si $n=2$, sólo hay un $2$-ciclo, por lo que sólo hay un $Q$, e $L= K$, lo que significa que hay fórmulas para los coeficientes de $Q$ en términos de la $a_i$.

Si $n=3$, hay dos $3$-ciclos. Si $G \not \subset A_3$ $G$ va a cambiar, de modo que se obtenga una órbita de tamaño $2$, por lo que los coeficientes de $Q$ será en un grado $2$ extensión de $K$. Si $G \subset A_3$ $G$ no cambiará ellos, lo cual nos indica que en este caso $L_\sigma = K$. De hecho tiene fórmulas para los dos $Q$ en términos de la $a_i$ $\delta = \pm \sqrt \Delta$ (y cambiar entre los dos $Q$ por el cambio en el signo de $\delta$)

Si $n=4$, hay $3! = 6$ $4$-los ciclos de vida en $6/\phi(4) = 3$ diferentes subgrupos cíclicos de orden $4$, así que un montón de cosas pueden suceder. En el peor de los casos, $G = S_4$, y todos ellos están definidos en $3$ diferente (no normal) extensiones de fin de $6$ de $K$. $S_4$ todavía es solucionable, así que si usted realmente quiere que usted puede obtener las fórmulas para $Q$ con raíces cuadradas y raíces cúbicas.

Si $n \ge 5$ bien, a continuación, $G$ puede incluso no ser solucionable, nunca más, así que usted no tendrá esas fórmulas más.

La única manera que usted puede tener $L_\sigma = K$ es al $|G_\sigma| = |G|$, lo que significa que $G \subset \langle \sigma \rangle$, y para que esto suceda $G$ tiene que ser cíclica (no necesariamente de orden $n$ si $P$ no es irreducible, aunque).

Answer 2

Deje $\alpha=\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_m$ ser las distintas raíces de $p$.

Elija una permutación $\sigma$ $1,2,\dots,m$ sin puntos fijos. Por ejemplo, un $m$-ciclo como $(12\cdots m)$.

Deje $q$ ser el único polinomio tal que $q(\alpha_i)=\alpha_{\sigma(i)}$. Que va a trabajar, pero no tienen un grado $n-1$.