El complemento de un conjunto simplemente conectado es simplemente conectado

Question

He visto la siguiente declaración sorprendente en Wikipedia :

Cuando $D\subseteq\Bbb C$ es un conjunto compacto simplemente conectado, entonces su complemento $E=D^c$ es un dominio simplemente conectado en la esfera de Riemann que contiene $\infty$ , ...

Esta propiedad parece algo específico de $S^2$ . ¿Es cierto que el complemento de un subconjunto compacto simplemente conectado de $S^n$ ¿está simplemente conectado? ¿Es esto cierto si $D$ no es necesariamente compacto/cerrado? ¿Cómo se demuestra esto?

Una pregunta relacionada (que quizá haya que trasladar a otro lugar): ¿existe un subconjunto $D\subseteq S^2$ tal que no hay caminos no triviales en ninguno de los dos $D$ o $D^c$ ?

Answer 1

Considero que la conexión del camino forma parte de "simplemente conectado". Como contraejemplo a tu pregunta cuando el conjunto no es cerrado, toma el círculo de Varsovia (una curva de seno de topólogo cerrada), elimina un punto en la parte "razonable" de la curva y toma el complemento del resultado. El círculo de Varsovia perforado no está conectado por un camino, pero su complemento es simplemente conectado.

El complemento de lo evidente $S^2$ en $S^n$ es equivalente en homotopía a $S^{n - 3}$ Así que no (toma $n=3,4$ ). Se puede hacer arbitrariamente mal; muchos muchos grupos aparecen como el grupo fundamental de las 2 esferas anudadas en $S^4$ y lo mismo para n-esferas en $S^{n+2}$ etc.

De hecho, arreglar $n \geq 3$ Kervaire demostró que un grupo finitamente presentado $G$ es el grupo fundamental del complemento de algún incrustado suave $S^n \hookrightarrow S^{n+2}$ si la abelianización de $G$ es $\Bbb Z$ , $H_2(G;\Bbb Z) = 0$ y $G$ se genera normalmente por algún elemento $m$ . Estos no son demasiado violentos para preguntar.