No entiendo claramente lo que se entiende por Noetherian y Artinian módulos. Traté de explicar a mí mismo con las definiciones, pero todavía no está claro. Por favor alguien puede ayudar que me lo explique con ejemplos, etc. Gracias!
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Rudy the Reindeer
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He estado pensando acerca de esto, ver aquí, así que aquí están algunos ejemplos para ayudarle a entender las definiciones que mejor:
$\mathbb Z$:
Tenga en cuenta que $\mathbb Z$ $\mathbb Z$- módulo. Nos dicen que es Noetherian. Para ver esto, observe que submódulos de $\mathbb Z$ corresponden a los subgrupos de la misma manera que todos los submódulos son de la forma $(n)$, el ideal generado por a $n$ desde $\mathbb Z$ es un PID. Ahora, si usted tiene $(n) \subset (m)$ $m$ debe dividir $n$, de modo que $(n_1) \subset (n_2) \subset (n_3) \subset \dots$ estabiliza para $k$ lo suficientemente grande desde $n_1$ sólo tiene un número finito de divisores. Por lo tanto todos ascendente de la cadena en $\mathbb Z$ debe ser estacionaria, lo que significa que $\mathbb Z$ es Noetherian.
Por otro lado, se observa que para cualquier $n > 1$ $(n) \supset (n^2) \supset (n^3) \supset \dots$ que es una disminución de de la cadena de submódulos y, por tanto, $\mathbb Z$ no es Artinian.
De un número finito de grupo abelian $G$:
Desde $G$ sólo tiene un número finito de elementos, cada vez más y cada una disminución de la secuencia eventualmente ser estacionario y, por tanto, de un número finito de abelian grupo es siempre, Artinian y Noetherian.
$\mathbb Q$ ($\mathbb Z$- módulo):
Tenga en cuenta que $\mathbb Q$ contiene $\mathbb Z$ como un submódulo de ahí $\mathbb Q$ no puede ser Artinian.
También tenga en cuenta que si $(\frac1p)$ indica el submódulo de $\mathbb Q$ generado por $\frac1p$, a continuación, el siguiente es un aumento de la secuencia de submódulos (y, por tanto, $\mathbb Q$ no es Noetherian): $(\frac1p) \subset (\frac{1}{p^2}) \subset (\frac{1}{p^3}) \subset \dots$
$\mathbb Q / \mathbb Z$ ($\mathbb Z$- módulo):
Esto no es Noetherian porque, por ejemplo, $(\frac1p) \subset (\frac{1}{p^2}) \subset \dots$ es un aumento de la cadena de submódulos que no es estacionaria.
Por otro lado, los subgrupos de $\mathbb Q / \mathbb Z$ parecerse a $(\frac{1}{n})$, el subgrupo generado por a $\frac1n$. Si tenemos $(\frac1n) \supset (\frac1m)$ sabemos que $m$ divide $n$ así que si $(\frac{1}{n_1}) \supset (\frac{1}{n_2}) \supset \dots$ es una disminución de la cadena que finalmente se quede inmóvil, porque sólo hay un número finito de divisores de a $n_1$. Por lo tanto $\mathbb Q / \mathbb Z$ es Artinian.
rschwieb
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Usted puede encontrar una explicación decente en esta página de la Wiki y también esta página de la Wiki.
Tengo varios ejemplos a tener en cuenta al desarrollar una idea de estas condiciones:
- El anillo de los enteros $\mathbb{Z}$ considerado como un derecho $\mathbb{Z}$-módulo.
- Cualquier finito dimensional espacio vectorial sobre un campo $\mathbb{F}$ ($\mathbb{F}$ módulo, por supuesto).
- Cualquier infinitas dimensiones espacio vectorial sobre un campo.
- Para una prima fija $p$, la $\{x\in \mathbb{Q}/\mathbb{Z} \mid \exists n\in\mathbb{N}, x{p^n}=0 \}$ considera como un $\mathbb{Z}$ módulo.
Estos son ejemplos de módulos que son/no son Noetherian/Artinian en todas las mezclas, y si usted puede averiguar qué es lo que entonces usted tendrá una mejor idea de lo que está pasando.
