la existencia de un automorphism de $k^a$ cuyo campo fijo es $k$

Question

Deje $k$ ser un campo en el que cada extensión finita es cíclico. Mostrar que hay un automorphism de $k^a$ $k$ cuyo campo fijo es $k$. Aquí $k^a$ es la clausura algebraica de $k$.

P. S. Es una tarea problema. La primera cosa que vino a mi mente fue la de usar el lema de Zorn. Pero yo no podía ver por qué el máximo debe ser $k^a$.

P. S. S. tengo un buen argumento completamente demostrar la declaración. La suposición de que cada finito extensión de $k$ es cíclico , de hecho, juega un papel clave en mi argumento.

¿Alguien puede dar un ejemplo para mostrar que la afirmación es falsa si sólo suponemos que cada finito extensión de $k$ es de Galois?

Answer 1

Aquí está mi argumento.

Deje $S=\{(E,\, \sigma_E):\,k\le E\le k^a,\,\sigma_E\in Gal(E/k),\,\textrm{the fixed field of }\sigma_E \textrm{ is } k\}$. Por la rutina de los argumentos usando el lema de Zorn, tenemos un elemento maximal, dicen, ($M$, $\sigma_M$). Supongamos $M\ne k^a$.

Deje $\alpha\in k^a-M$ ser de un mínimo de (mayor que 1) grado más de $M$. Extender $\sigma_M$$M(\alpha)$, decir $\sigma_1$. Por el maximality de $(M,\sigma_M)$, $\sigma_1$ corrige algunos $a\not\in k$. Por lo tanto $a\not\in M$. Por el minimality de $\alpha$,$M(\alpha)=M(a)$.

Deje $f(x)=irr(a,M,x)$, $\sigma_1(a)$ es una raíz de $f^{\sigma_1}$. Desde $\sigma_1$ corrige $a$,$f=f^{\sigma_1}$. Esto significa $f(x)\in k[x]$ y, por tanto,$[k(a):k]=[M(a):M]$.

Veamos ahora otra extensión de $\sigma_2$$\sigma_M$$M(\alpha)=M(a)$, que los mapas de $a$ a otra raíz de $f$, decir $a_0$. Tenga en cuenta que $a_0\ne a$. Similar al anterior argumento, tenemos:

1. $\sigma_2$ corrige algunos $b\not\in k$, y, por tanto,$b\not\in M$.

2. $M(\alpha)=M(b)$. Por lo tanto $[M(b):M]=[M(a):M]$.

3. $[k(b):k]=[M(b):M]$. Por lo tanto $[k(b):k]=[k(a):k]$.

Tenga en cuenta que $k(a)\ne k(b)$, ya que de lo contrario tendríamos $a\in k(b)$, lo que significa $a$ fue fijado por $\sigma_2$. Pero recordemos que $\sigma_2$ está definido por $\sigma_2(a)=a_0\ne a$.

Ya que cada finito extensión de $k$ es cíclica, $k$ tiene como máximo una extensión de un determinado finito grado en $k^a$. Pero tenemos $[k(b):k]=[k(a):k]$$k(a)\ne k(b)$, una contradicción.

Answer 2

Es de suponer que usted está aplicando el lema de Zorn para el conjunto de pares $(\ell,\sigma)$ tal que $\ell$ es una extensión algebraica de $k$ $\ell\in\operatorname{Gal}(\ell/k)$ es un automorphism tal que $k$ es su campo fijo. El conjunto de pares es parcialmente ordenado por la relación $(\ell,\sigma)\prec (\ell',\sigma')$ definido para contener, siempre que $\ell\subset\ell'$$\sigma'\vert_\ell=\sigma$.

El lema de Zorn, a continuación, hace la promesa de la existencia de un elemento maximal $(k_m,\sigma_m)$. Si $z\in k^a, z\notin k_m$, $k[z]$ es una extensión algebraica de $k$ por lo tanto cíclico. Me gustaría siguiente intento de demostrar que es posible levantar la restricción de $\sigma_m$ $\ell=k[z]\cap k_m$$k$- automorphism $\sigma_z$ $k[z]$ la prescripción de la propiedad.

Ahora que $\sigma_m$ $\sigma_z$ son compatibles en el sentido de que ellos están de acuerdo, siempre que ambos se definen, debería ser posible hacer lo siguiente. Deje $\ell$ ser una extensión finita de $k$ que está contenida en $k_m$. Demostrar que existe un $k$-automorphism de $\ell[z]$ de manera tal que su restricción a $\ell$ está de acuerdo con $\sigma_m$, y que su restricción a $k[z]$ está de acuerdo con $\sigma_z$. Si usted tiene cubierta la teoría de Galois linealmente disjuntos campo de extensiones, esto es fácil.

Como $k_m$ es la unión de estos campos de $\ell$, sólo han demostrado la existencia de un adecuado $k$-automorphism de $k_m[z]$ violar maximality de $k_m$.

Un montón de detalles para comprobar y verificar, pero creo que esto funciona.