Encontrar el límite de una función con ArcTan

Question

He encontrado dificultades para encontrar este límite ( sin utilizar la aproximación en serie de Taylor ya que está destinado a la escuela secundaria):

$$ \lim_{x\ \to\ \infty}\left[\, {x^{3} \over \left(\,x^{2} + 1\,\right)\arctan\left(\,x\,\right)} - {2x \over \pi} \,\right] $$

Gracias.

Answer 1

Creo que la respuesta es $4/\pi^2.$

voy a hacer un cambio de variable $u = 1/x$ y utilizará el hecho $\tan 1/u = \pi/2 - \tan u$ para $u > 0.$ $\begin{eqnarray} lim_{x \to \infty} \frac{x^3}{(1+x^2) \tan x} - \frac{2x}{\pi} = \lim_{u \to {0+}} \frac{1}{u(1+u^2)\tan(1/u)} - \frac{2}{\pi u} \\ = \frac{2}{u(1+u^2)(\pi-2\tan u)} - \frac{2}{\pi u} \\ = \frac{2\pi - 2 (1+u^2)(\pi - 2 \tan u)}{\pi u (1+u^2)(\pi - 2\tan u)}\\ = \frac{2 \pi - 2 (\pi - 2\tan u + \cdots)}{\pi u(1 + u^2)(\pi - 2 \tan u)}\\ = \frac{4 \tan u + \cdots}{\pi^2 u + \cdots} = \frac{4}{\pi^2}\\ \end{eqnarray}$

Answer 2

Dejemos que $x=\tan t$ , donde $t\to\dfrac\pi2$ y utilizar algunas identidades trigonométricas básicas, como $\tan t=\dfrac{\sin t}{\cos t}$ y

$1+\tan^2t=\dfrac1{\cos^2t}$ . Entonces dejemos que $t=\dfrac\pi2-u$ , donde $u\to0$ y, de nuevo, utilizar algunas trigonometrías básicas

identidades, como $\cos\bigg(\dfrac\pi2-u\bigg)=\sin u$ y $\sin\bigg(\dfrac\pi2-u\bigg)=\cos u$ . Por último, utilice $~\dfrac{\sin u}u\to1~$ cuando

$u\to0$ en conjunción con $1-\cos u=2\sin^2\dfrac u2$ y $\sin u=2\sin\dfrac u2\cos\dfrac u2$ . QED. :-) Continúa

sin decir que $\arctan(\tan t)=t$ para $~|t|<\dfrac\pi2$ .

Answer 3

Una pista. Puede escribir, como $x$ tiende a $+\infty$ , $$ \arctan x=\frac{\pi}{2}-\arctan \frac{1}{x} $$ y utilizar $$ \arctan u=u-\frac{u^3}{3}+\mathcal{O}(u^4), \quad u \rightarrow 0,$$ para obtener $$ (x^2+1)\arctan x=(x^2+1)\left(\frac{\pi}{2}-\arctan \frac{1}{x}\right)=\frac{\pi x^2}{2}-x+\frac{\pi }{2}+\mathcal{O}\left(\frac{1}{x}\right) $$ entonces $$ \begin{align} \frac{x^3}{(x^2+1)\arctan x}&=\frac{x^3}{\frac{\pi x^2}{2}-x+\frac{\pi }{2}+\mathcal{O}\left(\frac{1}{x}\right)}\\\\&=\frac{2}{\pi}\frac{x}{1-\frac{2}{\pi x}+\mathcal{O}\left(\frac{1}{x^2}\right)}\\\\&=\frac{2 x}{\pi }+\frac{4}{\pi ^2}+\mathcal{O}\left(\frac{1}{x}\right) \end{align} $$ Por lo tanto, $$ \lim\limits_{x\to +\infty} \left({x^3\over(x^2+1)\arctan(x)}-{2x\over \pi}\right)=\frac{4}{\pi ^2}.$$ Espero que esto pueda ayudarte.