Cuando la prueba de null secuencias he tenido que decir si eran convergentes o divergentes, pero dices que tienes una secuencia convergente (a) y divergentes de la secuencia (b) y se multiplica ellos (por lo que {ab}) tendría una secuencia divergente o simplemente cancelar?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
En general, no se puede decir nada acerca de las propiedades de convergencia de una secuencia $(a_nb_n)$ si una de las secuencias de $(a_n)$ o $(b_n)$ diverge, incluso si uno de ellos converge a 0.
Algunos ejemplos:
- Tome $a_n=(-1)^n$$b_n=(-1)^{n+1}$. Tanto de $(a_n)$ $(b_n)$ divergen, pero la secuencia de $(a_nb_n)=(-1)$ converge.
- Tome $a_n=n$$b_n={1\over n^2}$. A continuación, $(a_n)$ diverge, $(b_n)$ converge a $0$, pero la secuencia de $(a_n b_n)=({1\over n})$ converge.
- Tome $a_n=n^2$$b_n={1\over n}$. A continuación, $(a_n)$ diverge, $(b_n)$ converge a $0$, pero la secuencia de $(a_n b_n)=({ n})$ diverge.
En el tercer ejemplo anterior, a pesar de que una secuencia es convergente a cero, la otra secuencia tiende a infinito lo suficientemente rápido que el "producto" secuencia tiende a infinito. En el segundo ejemplo, aunque una secuencia tiende a infinito, la otra secuencia se dirige a cero rápidamente basta con que el producto de la secuencia tiende a cero.
Otro punto de realizarse: Incluso si usted sabe que $(a_n)$ diverge, $(b_n)$ converge a$0$, $(a_nb_n)$ converge, no se puede concluir que $(a_nb_n)$ converge a $0$. Por ejemplo, tome $a_n=n$$b_n={3\over n}$.
Aquí es un resultado positivo, aunque:
- Si $(a_n)$ diverge, pero es limitado y si $(b_n)$ converge a $0$, a continuación, $(a_nb_n)$ converge a $0$.
