Distancia más corta entre dos líneas en el espacio 3-dimensional

Question

Puede que alguien me explique cómo resolver esta cuestión?

Encontrar la distancia más corta entre líneas $L_1 = \left\{t \begin{bmatrix} 1\\ 1\\ 1\end{bmatrix} : t \in \mathbb{R}\right\}$ $L_2 = \left\{s \begin{bmatrix} 1\\ 2\\ 3\end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1\\ 0\\ 0\end{bmatrix}: s \in \mathbb{R}\right\}$

Gracias

Answer 1

Primero se toma el producto vectorial de los dos vectores de dirección: $<1,1,1>\times<1,2,3>=<1,-2,1>$. Podemos normalizar el vector unitario $\frac{1}{\sqrt6}<1,-2,1>$
La distancia mínima será la longitud de la proyección escalar de cualquier segmento de la línea de unirse a la L1 y la L2 en este vector unitario. Tenemos los puntos (0,0,0) en L1 y (1,0,0) en L2, que están unidos por el vector <1-0,0-0,0-0>=<1,0,0>. La longitud de la proyección escalar será la magnitud del producto escalar <1,0,0> y $\frac{1}{\sqrt6}<1,-2,1>$, $\frac{1}{\sqrt6}$

Answer 2

La diferencia de vectores es $$ d = L_2(s) - L_1(t) = s (1,2,3) + (1,0,0) - t (1,1,1) = (s - t + 1, 2s - t 3 - t) $$ Entonces $$ q = \lVert d \rVert^2 = c^2 = (s-t+1)^2 + (2 - t)^2 + (3 - t)^2 $$ A continuación, la pendiente es $$ q_s =2(s-t+1)+ 4 (2-t) + 6(3-t) = 28s-12t + 2 \\ q_t = -2(s-t+1)-2(2-t) -2(3-t) = -12s+6t-2 $$ Se desvanece para $$ \left( \begin{array}{rr|r} 28 & -12 & -2 \\ -12 & 6 & 2 \end{array} \right) \a \left( \begin{array}{rr|r} 16 & -6 & 0 \\ -12 & 6 & 2 \end{array} \right) \a \left( \begin{array}{rr|r} 16 & -6 & 0 \\ 4 & 0 & 2 \end{array} \right) \para \\ \left( \begin{array}{rr|r} 16 & -6 & 0 \\ 1 & 0 & 1/2 \end{array} \right) \a \left( \begin{array}{rr|r} 0 & -6 & -8 \\ 1 & 0 & 1/2 \end{array} \right) \a \left( \begin{array}{rr|r} 1 & 0 & 1/2 \\ 0 & 1 & 4/3 \end{array} \right) $$ Por lo $s = 1/2$ und $t = 4/3$. Esto le da $q = d^2 = (1/6)^2 + (-1/3)^2 + (1/6)^2 = 1/18 + 1/9 = 3/18 = 1/6$ y $d = 1/\sqrt{6}$.

(Versión grande)

Answer 3

La distancia Euclidiana entre las dos líneas es

$$\left\|s \begin{bmatrix} 1\\ 2\\ 3\end{bmatrix} - t \begin{bmatrix} 1\\ 1\\ 1\end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1\\ 0\\ 0\end{bmatrix}\right\| = \left\|\begin{bmatrix} 1 & -1\\ 2 & -1\\ 3 & -1\end{bmatrix} \begin{bmatrix} s\\ t\end{bmatrix} - \begin{bmatrix} -1\\ 0\\ 0\end{bmatrix}\right\|$$

Minimizar la distancia Euclídea es una de mínimos cuadrados problema. El mininimizer de $\| A x - b\|$ está dada por la solución a la normal de la llamada ecuaciones $A^T A x = A^T b$. Desde

$$\begin{bmatrix} 1 & -1\\ 2 & -1\\ 3 & -1\end{bmatrix}^T \begin{bmatrix} 1 & -1\\ 2 & -1\\ 3 & -1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 14 & -6\\ -6 & 3\end{bmatrix}, \qquad{} \begin{bmatrix} 1 & -1\\ 2 & -1\\ 3 & -1\end{bmatrix}^T \begin{bmatrix} -1\\ 0\\ 0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1\\ 1\end{bmatrix}$$

la normal de ecuaciones nos dan el siguiente sistema de ecuaciones

$$\begin{bmatrix} 14 & -6\\ -6 & 3\end{bmatrix} \begin{bmatrix} s\\ t\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1\\ 1\end{bmatrix}$$

cuya solución es $\begin{bmatrix} s\\ t\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{2}\\ \frac{4}{3}\end{bmatrix}$. La mínima distancia Euclídea entre las dos líneas es, por lo tanto,

$$\left\|\frac{1}{2} \begin{bmatrix} 1\\ 2\\ 3\end{bmatrix} - \frac{4}{3} \begin{bmatrix} 1\\ 1\\ 1\end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1\\ 0\\ 0\end{bmatrix}\right\| = \left\|\begin{bmatrix} \frac{1}{6}\\ -\frac{1}{3}\\ \frac{1}{6}\end{bmatrix}\right\| = \frac{1}{\sqrt{6}}$$