Secuencia corta exacta de haces vectoriales

Question

Sólo quiero aclarar, ¿es cierto que para demostrar que algunos haces vectoriales (sobre el mismo espacio) encajan en una secuencia exacta corta sólo tenemos que comprobar que sus fibras encajan en una secuencia exacta corta de espacios vectoriales?

Muchas gracias por su atención.

Answer 1

No, no es cierto. Obviamente, es necesario que todas las fibras encajen en secuencias exactas cortas, pero no es suficiente.

Como contraejemplo, veamos $X$ sea cualquier espacio que tenga un haz vectorial no trivial $E$ de rango $n$ . Sea $F$ denota el haz vectorial trivial sobre $X$ de rango $n$ y que $0$ denota el haz vectorial de rango $0$ en $X$ . A continuación, para cada $x\in X$ existe una secuencia exacta corta $0\to 0_x\to E_x\to F_x\to 0$ de fibras en $x$ ya que $E_x$ et $F_x$ son ambos $n$ -y los espacios vectoriales $0_x$ es el espacio vectorial trivial. Pero no existe una secuencia exacta corta de haces vectoriales $0\to 0\to E\to F\to 0$ ya que esto implicaría $E\cong F$ pero $E$ no es trivial.

Sin embargo, como ha comentado Mariano Suárez-Alvarez, si ya tienes mapas de haces vectoriales $E\to F$ et $F\to G$ entonces es cierto que la secuencia $0\to E\to F\to G\to 0$ es exacta si $0\to E_x\to F_x\to G_x\to 0$ es exacta para cada $x\in X$ . No puedo demostrarlo sin saber cuál es tu definición de "sucesión exacta de haces vectoriales" (de hecho, una de esas definiciones es que una sucesión es exacta si es exacta en cada fibra).