Evaluar la integral impropia con los residuos.

Question

$$\int_0^{\infty} \frac{x^2+1}{x^4+1}dx$$

Lo que he encontrado son las singularidades en: $e^{\pi/4+\pi/2n}$$n=0,1,2,3$. Pero estoy seguro de cómo calcular la integral ya que no desea incluir la singularidad en $x_2=\frac{-1+i}{\sqrt{2}}$ desde entonces yo sería el cálculo de la integral a partir de lo negativo a lo positivo infinito.

Mi idea era construir un contorno $\gamma : x=ti$ donde$R<t\leq0$$\lim_{R\rightarrow \infty}$. Mi cálculo era que, dado que:

$$\int_{\gamma}\frac{x^2+1}{x^4+1}dx=i\int_R^0\frac{1-t^2}{t^4+1}dt$$

no tiene ningún tipo de singularidades a lo largo de la real positivo numberline, por lo tanto, es limitada y por lo tanto:

$$i\int_R^0\frac{1-t^2}{t^4+1}dt\leq \Big| i\int_R^0\frac{1-t^2}{t^4+1}dt\Big|\leq\int_R^0\frac{|1-t^2|}{|t^4+1|}dt\leq\frac{|R^2|+1}{|R^4|-1}\rightarrow0 \text{ when } R\rightarrow \infty.$$

La respuesta sería: $$\lim_{R\rightarrow \infty}\int_0^{R}\frac{x^2+1}{x^4+1}dx=2\pi iRes(f;e^{\pi/4})-\int_0^{\pi/2}f(x)dx-i\int_R^0f(x)dx=\frac{\pi}{2\sqrt{2}}.$$

Pero lamentablemente me equivoco, lo que está mal?

Answer 1

Deje $I$ ser la integral definida por

$$I=\int_0^\infty\frac{x^2+1}{x^4+1}\,dx \tag 1$$

Procedemos a evaluar la integral en $(1)$ mediante el análisis de la integral de contorno $J$

$$J=\oint_C \frac{z^2+1}{z^4+1}\,dz$$

donde $C$ es el cuarto de círculo en el primer cuadrante, con centro en el origen, con un radio de $R$. Entonces, tenemos

$$J=\int_0^R \frac{x^2+1}{x^4+1}\,dx+i\int_0^R \frac{y^2-1}{y^4+1}\,dy+\int_0^{\pi/2}\frac{R^2e^{i2\phi}+1}{R^4e^{i4\phi}+1}\,iRe^{i\phi}\,d\phi \tag 2$$

A partir de los residuos teorema, nos encontramos con que

$$\begin{align} J&=2\pi i \text{Res}\left(\frac{z^2+1}{z^4+1}, z=e^{i\pi/4}\right)\\\\ &=2\pi i \frac{e^{i\pi/2}+1}{4e^{i3\pi/4}}\\\\ &=\frac{\sqrt{2}\pi}{2} \end{align}$$

Como $R\to \infty$, la tercera de la integral en el lado derecho de la $(2)$ desaparece y nos encontramos con

$$\int_0^\infty \frac{x^2+1}{x^4+1}\,dx+i\int_0^\infty \frac{y^2-1}{y^4+1}\,dy=\frac{\sqrt{2}\pi}{2} \tag 3$$

Igualando las partes reales de $(3)$, nos encontramos con

$$\bbox[5px,border:2px solid #C0A000]{\int_0^\infty \frac{x^2+1}{x^4+1}\,dx=\frac{\sqrt{2}\pi}{2}}$$

Como un bono, nos encontramos con que

$$\int_0^\infty \frac{x^2-1}{x^4+1}\,dx=0$$

que uno puede verificar directamente, mediante la aplicación de la sustitución de $x\to 1/x$.