Exponenciales sobreyectivas para campos algebraicamente cerrados

Question

La existencia del exponencial en $\mathbb{C}$ tiene una consecuencia muy básica, pero muy fuerte : $(\mathbb{C}^*,\cdot)$ es un cociente de $(\mathbb{C},+)$ . Esta pregunta se refiere a los campos $K$ tal que $K^*$ es un cociente de $K$ es decir, con la existencia de un surjective morfismo de grupo $K\to K^*$ . Me referiré a estos morfismos como "exponenciales" en $K$ . (Sé que la noción de campos exponenciales existe, pero sólo considero el caso surjetivo).

La existencia de tal mapa no es benigna : ya que el grupo aditivo $K$ es $q$ -divisible para todos $q\neq char(K)$ implica que $K^*$ también es $q$ -divisible. En la característica $0$ esto implica en realidad que $K$ es algebraicamente cerrado (sospecho que en la característica $p$ esto implica que $K$ es separablemente cerrado, pero me centraré en la característica cero por ahora). EDIT : Eso era falso, pero realmente no importa ya que la respuesta de Eric da una construcción cuando $K^*$ es divisible.

Pregunta 1: Es un hecho básico que los campos algebraicamente cerrados de característica cero y con el mismo grado de trascendencia sobre $\mathbb{Q}$ son isomorfas. Así que $\mathbb{C}_p \simeq \mathbb{C}$ para todos $p$ y por lo tanto $\mathbb{C}_p$ admite (al menos un) mapa exponencial. Por otro lado, los isomorfismos $\mathbb{C}\to \mathbb{C}_p$ son objetos altamente no construibles, por lo que esto no nos da ninguna pista sobre lo que un exponencial en $\mathbb{C}_p$ puede parecer.

¿Puede tal mapa exponencial $\mathbb{C}_p\to \mathbb{C}_p^*$ ¿se define explícitamente? En particular, ¿existe sin el axioma de elección (o sólo con una versión débil)?

Pregunta 2: Si volvemos a poner el axioma de la elección :

Para cualquier cardinal contable $\kappa$ , hacen campos algebraicamente cerrados de grado de trascendencia $\kappa$ en $\mathbb{Q}$ admiten una exponencial surjetiva ? (En particular, ¿qué pasa con $\overline{\mathbb{Q}}$ ?)

Ya sabemos por $\mathbb{C}$ que esto es cierto para $\kappa = 2^{\aleph_0}$ por lo que, dado que los "campos algebraicamente cerrados de característica cero con una exponencial sobreyectiva" pueden ser axiomatizados contablemente en la lógica de primer orden, Löwenheim-Skolem implica que existen modelos de toda cardinalidad infinita, por lo que, en particular, la pregunta 2 tiene una respuesta positiva para todos los incontables $\kappa$ y para algunos contable $\kappa$ . Pero como todo lo contable $\kappa$ dan modelos de la misma cardinalidad $\aleph_0$ No podemos utilizar esa observación para responder a la pregunta.

Answer 1

No tengo ni idea de cómo responder a la pregunta 1, pero en presencia del axioma de elección, todo es muy sencillo. Si $K$ es un campo algebraicamente cerrado de característica $0$ entonces el grupo aditivo de $K$ es isomorfo a una suma directa de $|K|$ copias de $\mathbb{Q}$ (esto es trivial cuando $K$ es incontable; cuando $K$ es contable, nótese que debe tener un grado infinito sobre $\mathbb{Q}$ para ser algebraicamente cerrado). El subgrupo de torsión del grupo multiplicativo (es decir, las raíces de la unidad) es $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ y como $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ es inyectiva, el grupo multiplicativo se divide como una suma directa $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}\oplus A$ para algún grupo $A$ . El grupo $A$ es libre de torsión y divisible y, por tanto, a $\mathbb{Q}$ -espacio vectorial, y su dimensión se ve fácilmente que es $|K|$ (esto es trivial cuando $K$ es incontable; cuando $K$ es contable, nótese que los enteros primos son un conjunto infinito linealmente independiente).

Así, $K^*$ es una suma directa de $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ y $|K|$ copias de $\mathbb{Q}$ . Es evidente que existe un homomorfismo sobreyectivo de $K$ a esta suma directa, ya que existe un homomorfismo surjetivo $\mathbb{Q}\to\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ y $|K|$ es infinito. De hecho, existe un homomorfismo suryectivo cuyo núcleo es cíclico, como en el caso de $\mathbb{C}$ .

Nótese que todo lo que este argumento necesita del axioma de elección es que $K$ para ser bien ordenable. Así que si usted sabe $K$ es bien ordenable sin el axioma de elección, se obtiene una exponencial suryectiva sin elección. En particular, por ejemplo, $\overline{\mathbb{Q}}$ tiene una exponencial sobreyectiva que se puede escribir (en términos de bases explícitas para $\overline{\mathbb{Q}}$ y $\overline{\mathbb{Q}}^*$ ), aunque, por supuesto, esto seguirá sin ser muy "natural".

Obsérvese también que en realidad no es cierto que $K^*$ ser divisible implica $K$ es algebraicamente cerrado. De hecho, esto sólo dice $K$ es cerrado bajo la toma de radicales, pero como no todos los polinomios se pueden resolver por radicales, esto no generará todas las raíces de los polinomios. Sin embargo, la discusión anterior se aplica perfectamente a cualquier campo de característica $0$ tal que $K^*$ es divisible (con la modificación de que el grupo de raíces de la unidad puede ser un subgrupo de $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ en lugar de todo el $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ sin embargo, como subgrupo divisible, será un sumando directo de $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ y, por tanto, sigue siendo un cociente de $\mathbb{Q}$ ).

Por último, quiero señalar que casi ningún campo $K$ de la característica $p>0$ tiene una exponencial suryente. De hecho, cada elemento de $K$ es aniquilado por $p$ , por lo que esto significaría $x^p=1$ para todos $x\in K^*$ . Esto implica $x=1$ para todos $x\in K^*$ por lo que el único campo de este tipo es $K=\mathbb{F}_2$ .