Dada la ecuación diferencial, cómo resolver la y con la función de x como la variable independiente?

Question

$y\frac{dy}{dx} = x(y^4 + 2y^2 + 1)$

$y = 1$ al $x = 4$

Me canse de integrar por sustitución, pero no parecen funcionar.

Answer 1

Escribo esto como

$${1\over 2} 2y {dy\over dx} = x((y^2)^2+2y^2+1)$$

Entonces usted tiene la LHS es ${1\over 2}{d(y^2)\over dx}=x(y^2+1)^2$

Así que usted consigue

$${1\over 2}{d(y^2)\over (y^2+1)^2}=x\,dx$$

integrar ambos lados

$$-{1\over 2}(y^2+1)^{-1}={1\over 2}x^2+C$$

Enchufar, obtenemos $-{1\over 4}=8+C$, lo $C=-{33\over 4}$.

Llegamos a la conclusión de que la solución es

$$-{1\over 2}(y^2+1)^{-1}={1\over 2}x^2-{33\over 4}.$$

Answer 2

Aviso, hemos $$y\frac{dy}{dx}=x(y^4+2y^2+1)$$ $$\frac{y}{y^4+2y^2+1}dy=xdx$$ $$\frac{y}{(y^2+1)^2}dy=xdx$$ Now, integrating both the sides we have $$\int \frac{y}{(y^2+1)^2}dy=\int xdx$$ $$\frac{1}{2}\frac{(y^2+1)^{-1}}{-1}=\frac{x^2}{2}+c$$ $$-\frac{1}{2(y^2+1)}=\frac{x^2}{2}+c$$ Substituting $y=1$ & $x=4$, obtenemos $$\frac{-1}{2((1)^2+1)}=\frac{(4)^2}{2}+c\implies c=\frac{-31}{4}$$ Hence, the solution is $$-\frac{1}{2(y^2+1)}=\frac{x^2}{2}-\frac{31}{4}$$

Answer 3

Para solucionar esto, se puede utilizar de separación de variables:

$$ y \frac{dy}{dx} = x(y^4+2y^2+1)$$

$$ \frac{y}{y^4+2y^2+1}dy = x\ dx$$

$$ \frac{y}{(y^2+1)^2}= x \ dx$$

Mediante la sustitución de $u = y^2+1$, $\frac{du}{dy}= 2y $

$$ \frac{1}{2}\int u^{-2} du= \int x \ dx $$

$$ \frac{-1}{2(y^2+1)} = \frac{x^2}{2} + c$$

donde c es una constante de integración.

Usted puede obtener un valor de $c$ $x =4 \ \text{and}\ y =1$

Esto debería darte $c =\frac{-33}{4}$

Por lo tanto, la solución:

$$ \frac{2}{y^2+1} =33- 2x^2 $$