Cómo recordar/rederive los isomorfismos de los planos medio en el disco de la unidad

Question

Sé que $$z \mapsto \frac{z-i}{z+i}$$ maps the upper half plane to the unit disc, and $% $ $z \mapsto \frac{z-1}{z+1}$mapas del derecha medio plano. ¿Hay una manera intuitiva de construir estos mapas desde cero?

Answer 1

Sí. Cualquier Mobius mapa está determinado por tres puntos (es decir, si dos mapas están de acuerdo en tres puntos, que son lo mismo).

Mobius mapas enviar los límites a los límites, y los interiores de los interiores, es decir, si desea enviar la mitad superior del plano a la unidad de disco, entonces usted quiere tomar sus límites (el eje real) y que hasta el límite de la unidad de disco (el círculo unitario). Usted necesita tener cuidado, porque de forma accidental, puede enviar la mitad superior del plano a las afueras de la unidad de disco, pero usted puede fácilmente ajustar el mapa para cambiar esas si usted necesita. Así que elija su favorito puntos en la recta real (la mía se $0,1$$\infty$), y asignarlos a su favorito de los tres puntos en el círculo unidad (la mía se $1,-1$$i$).

Por ejemplo, en los mapas que se dio, envíe $(0,1,\infty)$$(-1,-i,1)$, que afortunadamente se acueste sobre el círculo unidad. Si damos un vistazo a algunos de niza punto en la mitad superior del plano, digamos, $i$, vemos que va a$0$, que está en el disco, así como lo quería! Es un poco complicado para la construcción de una mobius mapa que envía cualquier triple a cualquier triple, pero es ciertamente factible si eso es lo que quieres?

EDIT: también Hay una muy linda manera de encontrar una Mobius mapa que envía los tres puntos a cualquiera de los tres puntos. Voy a dar un esbozo aquí: el truco es enviar todo a través de $(0,1,\infty)$ (este es un muy buen triple). Suponga que desea enviar el triple $(x_{1},x_{2},x_{3})$$(y_{1},y_{2},y_{3})$. Primero, la construcción de la $f$ tal que $f(x_{1},x_{2},x_{3})=(0,1,\infty)$, y, a continuación, hacer $g$ con $g(0,1,\infty)=(y_{1},y_{2},y_{3})$. $f$ se parece a esto: $$f(z)=\frac{(z-x_{1})(x_{2}-x_{3})}{(z-x_{3})(x_{2}-x_{1})}$$ El $z-x_{1}$ asegura que se $0$$x_{1}$, $z-x_{3}$ asegura que estamos $\infty$$x_{3}$, y los otros términos son una corrección para $z=x_{2}$. Del mismo modo, la inversa de a $g$ $$g^{-1}(z)=\frac{(z-y_{1})(y_{2}-y_{3})}{(z-y_{3})(y_{2}-y_{1})}$$
Ahora invierta este (usando el hecho de Mobius mapas pueden ser representados por matrices!) y la composición de la $gf$ es lo que quieres.

Answer 2

Me acaba de utilizar el hecho de que una lineal fraccional de transformación está determinada por las imágenes de tres puntos. Supongamos que desea asignar el disco de la unidad de radio centrado en $i$ a la mitad del plano -$\operatorname{Re}\ge 1$. Los puntos de $0$ $i\pm 1$ están en el límite de la disco y los puntos de $1$ $1\pm i$ están en el límite de la mitad de plano. Si yo mapa de $0$$1$, e $i\pm1$$1\pm i$, pero no necesariamente, respectivamente, entonces, ¿qué sucede? La simetría de las sugerencias que $2i$ debe obtener asignan a $\infty$, por lo que debemos tener $$ z\mapsto \frac{\cdots}{z-2i}, $$ pero sólo trabajan en los tres primeros puntos, ¿qué obtenemos? Un poco hacia la izquierda orientada a la mitad círculo centrado en $0$ y en la mitad superior del plano, por lo que en el disco, se debe asignar a un poco hacia la izquierda orientada a la mitad círculo centrado en $1$ y en el semiplano de la derecha de $1$. Que sugiere (dibujar la imagen) \begin{align} & i-1 \mapsto 1+i\quad\text{and}\quad 1+i\mapsto 1-i, \\ \text{and not } & i-1 \mapsto 1-i\quad\text{and}\quad 1+i\mapsto 1+i \end{align} debido a que la última alternativa sería mapa del interior de la disco a la mitad del plano -$\operatorname{Re}\le1$. Así: \begin{align} 0 & \mapsto 1 \\ i-1 & \mapsto 1+i \\ i+1 & \mapsto 1-i \\[4pt] z & \mapsto \frac{az+b}{cz+d} = f(z) \tag1 \end{align} La línea $(1)$ nos dice que nosotros tenemos $0\mapsto \dfrac b d$, por lo que tenemos $\dfrac b d = 1$ por lo tanto $$ f(z) = \frac{az+b}{cz+b}. $$ A continuación, ya que queremos que $f(i-1)=1+i$ hemos $$ 1+i = f(i-1) = \frac{a(i-1)+b}{c(i-1)+b} $$ $$ (1+i) c(i-1)+b) = a(i-1)+b $$ $$ -2c + b(1+i) = a(i-1)+b $$ $$ -2c+ib = a(i-1) $$ $$ c = \frac{a+i(b-a)} 2 $$ $$ f(z) = \frac{az+b}{\frac{a+i(b-a)} 2 z +b} = \frac{2az+2b}{\Big(a+i(b-a)\Big)z + 2b}. $$ Desde que desee $f(i+1)=1-i$ tenemos $$ 1-i = f(i+1) = \frac{2a(i+1)+2b}{\Big(a+i(b-a)\Big)(i+1) + 2b} = \frac{2a(i+1)+2b}{2a+b(i-1)} $$ $$ \Big( 2a+b(i-1) \Big)(1-i) = 2a(i+1)+2b $$ $$ 2a(1-i) + 2ib = 2a(i+1)+2b $$ $$ a = b\frac{i+1}2 $$ Por lo tanto $$ f(z) = \frac{b(i+1)z + 2b}{2bz+2b} = \frac{(i+1)z+2}{2(z+1)} \etiqueta{advertencia: ver abajo} $$ Claramente algunos de los detalles que ha ido mal aquí, pero este método debe hacerlo.

Un enfoque diferente es el uso de la sugerencia inicial, que es $\dfrac{\cdots}{z-2i}$.

Si $f(z) = {az+b}{z-2i}$$f(0)=1$,$f(z) = \dfrac{az-2i}{z-2i}$. Entonces el problema es encontrar a $a$.

Queremos $f(1+i) = 1-i$. Así $$ 1-i = f(1+i) = \frac{a(1+i)-2i}{(1+i)-2i}. $$ $$ (1-i)^2 = a(1+i)-2i $$ Esto conduce a $a=0$ y obtenemos $f(z) = \dfrac{-2i}{z-2i}$.

Entonces $$ f(1+i) = \frac{-2i}{(1+i)-2i} = \frac{-2i}{1-me} = 1-i $$ así funciona esto.

Answer 3

Para un isomorfismo de plano medio superior en el disco de la unidad, supongamos que $i\mapsto0$. Entonces $-i\mapsto\infty$, $i,-i$ son simétricas (w.r.t. el $x$-eje) y $0,\infty$ son simétricas (w.r.t. el círculo unitario). Así $z\mapsto\frac{z-i}{z+i}$ es lo que quieres.