Es el anillo de polinomios de Laurent en $n$ ¿variables no conmutativas noetherianas?

Question

Supongamos que tenemos un anillo noetheriano $R$ . ¿Es cierto que el anillo de polinomios de Laurent $R\langle x_1,\,x_1^{-1},\ldots,\,x_n,\,x_n^{-1}\rangle$ en $n$ variables no conmutativas también es noetheriano? Si es así, ¿por qué?

Answer 1

No es (izquierda o derecha) noeteriana si $n>1$ (y $R\neq0$ ). Es lo mismo que el anillo de grupo $RF_n$ de un grupo libre en $n$ generadores, y para que un anillo de grupo sea noetheriano, el grupo debe ser al menos noetheriano (lo que $F_n$ no lo es, ya que contiene un subgrupo libre infinitamente generado).

Para ver que $RG$ no es noetheriano si $G$ no es, para cualquier subgrupo $H\leq G$ , considere el ideal correcto $I_H$ de $RG$ generado por el ideal de aumento de $RH$ (o, de forma equivalente, $I_H$ es el conjunto de $\sum_{g\in G}\lambda_gg\in RG$ tal que $\sum_{g\in Hx}\lambda_g=0$ para cada coset $Hx$ de $H$ en $G$ ). Entonces, si $G$ tiene una cadena ascendente infinita $$H_0<H_1<H_2<\dots$$ de subgrupos, $RG$ tiene una cadena ascendente infinita $$I_{H_0}<I_{H_1}<I_{H_2}<\dots$$ de los ideales correctos.