Cálculo de la codimensión

Question

Acabo de aprender la idea de la codimensión, luego trato de encontrar algunos ejercicios para calcular la codimensión de algún ideal maximal $J$ en el ring $R=k[x,y,z]/I$ Me parece un poco complicado. Por ejemplo,

Si $R=k[x,y,z]/(x^2y^2z^2,xy^3z^2)$ y $J=(x,y,z)$ .

Entonces sólo tengo que encontrar los ideales principales $P_i$ en $k[x,y,z]$ para que $(x^2y^2z^2,xy^3z^2)\subsetneq P_0\subsetneq P_1 \subsetneq ... \subsetneq P_n=(x,y,z)$ es una cadena de primos de longitud máxima. Después de un poco de ensayo y error, encuentro $P_0=(x)\subsetneq (x,y)=P_1$ se puede poner en la cadena. Dado que la dimensión de Krull de $k[x,y,z]$ es 3, estoy seguro de que esto es lo más largo que puedo encontrar.

A veces la vida no es tan bella, por ejemplo,

Si $R=k[x,y,z]/(x)(y,z)$ y $J=(x+1,y,z)$ .

Esta vez sólo encuentro $P_0=(y,z)$ se puede poner en la cadena. Pero no puedo demostrar que es la cadena máxima.

A veces incluso me quedo atascado desde el principio, por ejemplo,

Si $R=k[x,y,z]/(x^5-y^2,x^3-z^2,z^5-y^3)$ y $J=(x,y,z)$ .

Esta vez ni siquiera sé si $(x^5-y^2,x^3-z^2,z^5-y^3)$ es primo o no.

¿Alguien puede mostrarme algún método más general para encontrar primos que se puedan poner en la cadena que ambos extremos son conocidos, y demostrar la maximalidad? Puedes usar tus propios ejemplos.

Answer 1

Bueno, tal vez algunas fórmulas de dimensión sean bienvenidas. Lo mejor para ti es lo siguiente:

Dejemos que $R=K[X_1,\dots,X_n]$ y $I\subset R$ . Entonces $\operatorname{ht}(I)=\dim R-\dim R/I$ .

Por supuesto, $\dim R=n$ y $\operatorname{ht}(I)$ es por definición el mínimo de $\operatorname{ht}(P)$ con $P\supseteq I$ .

1. $I=(x^2y^2z^2,xy^3z^2)$ . Este ideal tiene exactamente tres primos mínimos, todos de altura $1$ Así que $\dim R/I=3-1=2$ .

2. $I=(x)(y,z)$ . Este ideal tiene dos primos mínimos, uno de altura uno y otro de altura dos, por lo que su altura es $1$ .

3. $I=(x^5-y^2,x^3-z^2,z^5-y^3)$ . Pues bien, esto se puede hacer observando que $I$ no está contenido en un primo de altura uno (que debe ser principal, y por tanto generado por un polinomio irreducible). Esto demuestra que $\operatorname{ht}(I)\ge 2$ . Ahora definamos un homomorfismo $\varphi:k[x,y,z]\to k[t]$ enviando $x\mapsto t^2$ , $y\mapsto t^5$ y $z\mapsto t^3$ . Entonces $I\subseteq \ker\varphi$ y $k[x,y,z]/\ker\varphi\simeq k[t]$ Así que $\ker\varphi $ es un ideal primo de altura $2$ . En conclusión, $\operatorname{ht}(I)=2$ . (Si $I$ sería primo, entonces $I=\ker\varphi$ pero esto no es cierto ya que $xz-y\in\ker\varphi$ y $xz-y\notin I$ .)

Answer 2

¿Has probado a hacer dibujos?

Por ejemplo $k[x,y,z]/(x)(y,z)$ corresponde al conjunto algebraico que es la unión del plano $x = 0$ y la línea $y = z = 0$ .
El ideal $J = (x+1,y,z)$ corresponde al punto $(-1,0,0)$ que se encuentra en la línea pero no el plano. Un punto tiene coim'ın 1 en una recta, por lo que el coim'ın es 2.

Por ejemplo, para $k[x,y,z]/(x^5 - y^2, z^5 - y^3, x^3 - z^2)$ , piense primero en $k[x,y,z]/(x^5 - y^2, z^5 - y^3).$

Esto es una curva: $y$ puede tomar el valor que desee, entonces $x$ y $z$ se determinan a partir de $y$ hasta $5$ las raíces de $1$ (es decir $x = y^{2/5}, z = y^{3/5}$ ). Ahora la condición adicional $x^3 = z^2$ sólo dice que estos $5$ raíces de la unidad son no son independientes, es decir, habiendo elegido la $5$ raíz de $y^2$ dando $x$ El $5$ la raíz que da $z$ está inmovilizado. Así que esta última ecuación sólo recorta una componente particular de la curva inicial. Un punto de una curva tiene codimensión $1$ por lo que la codimensión es $1$ .