Mi cálculo manual sugiere un gradiente de campo es sólo un caso especial de un campo de vectores. Que implica que no son campos vectoriales que no hay gradiente de campos. El gradiente de campo se convierten en abono de un vector y cada $\mathbf{i}$, $\mathbf{j}$, $\mathbf{k}$ componente (usando 3 dimensiones) se multiplica por un escalar que es una derivada parcial. Es esto debido a que los escalares pueden ser de la forma que no es antiderivada de? Tal vez de una función que no puede ser diferenciada? Tal vez un campo de vectores que tiene curvas cerradas pero no puedo encontrar ninguna que no puedo encontrar un derivado. ¿Alguien tiene alguna así que puedo conseguir un poco de intuición del problema?
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Tsemo Aristide
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Si tienes un % de gradiente del campo $(X=\partial_xf,Y=\partial_yf,Z=\partial_zf)$,
obtener utilizando la relación ${\partial^2f\over{\partial x\partial y}}={{\partial^2f}\over{\partial y\partial x}}$ $\partial_yX=\partial_xY$. Esto no es cierto para cada campo del vector.
Por ejemplo $(x,x^2y^2,z)$ no es un campo del vector gradiente.
Un campo vectorial es sólo una función $\mathbf{F}:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$. (O el dominio puede ser de algún subconjunto $D$$\mathbb{R}^n$, no todos, por supuesto. Para evitar hacer este comentario de forma repetitiva, voy a seguir con $\mathbb{R}^n$, como ejemplo). Desde una intuitiva/geométrica punto de vista, lo mejor es visualizada como tener un vector adjunto a (o desde) cada punto del dominio de $D$. Dada una función multivariable $f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$, su gradiente $\nabla f$ es precisamente el tipo de una función, ya que actúa de$\mathbb{R}^n$$\mathbb{R}^n$, por lo que es un campo de vectores.
Lo que dice el libro es que no todos los campos vectoriales pueden ser obtenidos de esta manera. De manera intuitiva, se debe tener sentido: el hecho de que los componentes de $\nabla f$ se derivan de la misma función original $f$ resultado unas relaciones entre ellos. Si pones funciones aleatorias como componentes, lo más probable es que no estaría relacionado con en el que de manera especial. Es como los hermanos: eran los descendientes de los mismos padres que tienen algunas cosas en común, algo que la gente al azar no.
En más términos matemáticos, una de esas relaciones es la condición de igualdad de la mezcla de derivadas parciales. Decir, para una función de dos variables $f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$, debemos tener $\displaystyle \frac{\partial^2f}{\partial y\partial x}=\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}$, suponiendo que estos derivados son continuas. Por lo tanto, si $\displaystyle \mathbf{F}=\nabla f=\left\langle\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}\right\rangle=\langle M,N\rangle$ es su gradiente, entonces tenemos que tener $$\color{blue}{\frac{\partial M}{\partial y}}=\frac{\partial^2f}{\partial y\partial x}=\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}=\color{blue}{\frac{\partial N}{\partial x}}.$$
Así es el gradiente es muy especial! Esta condición le permite construir campos vectoriales que no son degradados. Casi cualquier cosa que pondría en un vector de campo al azar casi seguro que no será un gradiente. Por ejemplo, $\mathbf{F}(x,y)=\langle 2x+3y,4x+5y\rangle$ no es un gradiente, debido a que $$\frac{\partial M}{\partial y}=3\neq4=\frac{\partial N}{\partial x}.$$
neurino
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General campos vectoriales pueden generar flujos y circulaciones. Un gradiente de campos y sólo gradiente de campos (bajo algunas adicionales regularidades) siempre generan circulaciones que la cantidad a cero. Trate de calcular la circulación de un gradiente de campo en un plano alrededor de un elemental rectángulo centrado en cualquier punto de cuyos lados son paralelos a los ejes de coordenadas. Usted recibirá una escuela primaria de la circulación que es cero, simplemente por el hecho de que la mezcla de segundo orden en derivadas parciales del campo escalar no dependen del orden de la derivación. Observe que la densidad de tales primaria circulaciones (es decir, la curvatura de la gradiente de campo en cada punto) es también nulo.
Así gradiente de campos y sólo gradiente de campos (bajo adicionales regularidades) han curl idénticamente igual a cero.
También se puede ver que hay campos cuyos flujos (de la primaria y el flujo de la densidad en cada punto, que es su divergencia) representan siempre a cero.
