Demostrar que $\|a\|+\|b\| + \|c\| + \|a+b+c\| \geq \|a+b\| + \|b+c\| + \|c +a\|$ en el plano.

Question

Demostrar que $\|a\| + \|b\| + \|c\| + \|a+b+c\| \geq \|a+b\| + \|b+c\| + \|c +a\|$ en el plano.

Suave, consejos por favor!

Sé que intentar descomponer el lado derecho en

$$\alpha a + \beta b + \gamma c + \delta (a+b+c) = a + b$$

Para

$$\alpha \|a\| + \beta \|b\| + \gamma \|c\| + \delta \|a+b+c\| \geq \|a + b\|$$

y la suma sobre todos los términos L.H.S. no funciona.

También sé que yo puedo interpretar $\|a+b\|+\|b+c\|+\|c+a\|$ como el "más recto" camino de $0$ $2a+2b+2c$.

¡Sin embargo, no he podido traducir esa intuición en una prueba! ¡Sólo sugerencias por favor!

Answer 1

Tenga en cuenta que $(|a|+|b|+|c|-|b+c|-|a+c|-|a+b|+|a+b+c|)(|a|+|b|+|c|+|a+b+c|)=(|b|+|c|-|b+c|)(|a|-|b+c|+|a+b+c|)+(|c|+|a|-|c+a|)(|b|-|c+a|+|a+b+c|)+(|a|+|b|-|a+b|)(|c|-|a+b|+|a+b+c|)$

¡Por hecho!