Cálculo de la primera clase de Chern del paquete línea canónica $\mathbb{CP}^n$

Question

Hay diferentes maneras de definir y, posteriormente, calcular las clases de Chern. Justo ahora estoy estudiando a partir de las notas de la conferencia en las que se introduce la primera clase de Chern a través de la clasificación de los espacios de la siguiente manera:

La clasificación de paquete para$\mathbb{U}(1)$$\mathbb{S}^{\infty} \rightarrow \mathbb{CP}^{\infty}$. Así que el conjunto de los complejos de la línea de paquetes de más de $B$, que se $\mathbb{U}(1)$-paquetes, es en el bijective correspondencia con los mapas de $B$ $\mathbb{CP}^{\infty}$hasta homotopy. Así que para cualquier paquete existe un mapa inducida en el cohomology anillos de$\mathbb{Z}[t]$$H^{\bullet}(B)$. Y la primera clase de Chern se define como la imagen de el generador de $t$ en el último mapa.

Tengo un canónica de la línea de paquete de más de $\mathbb{CP}^n$ y quiero calcular la primera clase de Chern el uso de la clasificación del espacio de la teoría. ¿Tengo que seguir la construcción explícita del mapa entre el $\mathbb{CP}^n$ $\mathbb{CP}^{\infty}$ para este grupo, ya que yo no podía hacerlo, o hay otra forma, el uso de la clasificación de los espacios?

Answer 1

La mudanza de mi propio comentario, he llegado a una idea que parece plausible para mí. Estaría agradecido si usted indicar errores o de apoyo.

La idea es mover la otra manera alrededor de las bijectivity entre el conjunto de los complejos de la línea de paquetes y $[\mathbb{CP}^n,\mathbb{CP}^{\infty}]$. El mencionado bijection se da por tirar en el respaldo de la clasificación de paquete. Así que me preguntaba lote que voy a tener si me pull-back debajo de la habitual inclusión de $\mathbb{CP}^n \hookrightarrow \mathbb{CP}^{\infty}$ y afortunadamente puedo obtener exactamente el canónica de la línea de paquete! El espacio total de la pullbacked paquete se define como $E=\{[l]\times x \in \mathbb{CP}^n\times S^{\infty}:x\text{ maps to } [x] \in \mathbb{CP}^k \text{ for } x\in S^{2k+1} \text{ under the usual quotient map and } [x]=[l] \}$

¿Qué se puede decir acerca de la $E$ ? Es la segunda coordenada no puede exceder la esfera de la dimensión $2n+1$ porque $[x]=[l]\in \mathbb{CP}^n = S^{2n+1}/ \sim$ por lo que el conjunto de $E$ puede ser reformulado como $$\{[l]\times x \in \mathbb{CP}^n\times S^{2n+1}:x\text{ quotients to } [l] \in \mathbb{CP}^n \text{ for } x\in S^{2n+1}\}=$$ $$=\{[l]\times x \in \mathbb{CP}^n\times \mathbb{C}^{n+1}:x\text{ quotients to } [l] \in \mathbb{CP}^n \text{ for } x\in \mathbb{C}^{n+1}\}$$

Pero esto es exactamente la definición de la canónica de la línea de paquete!

El resto de la parte de mostrar que la imagen de generador de $t$ es de nuevo $t$ (en realidad $t+(t^{n+1})$) es más bien un standart de trabajo, debido a la inducción de mapa es la inclusión.

Todavía no puedo decir que estoy muy complacido con esta respuesta ya que no se utilizan de manera constructiva, sino más bien de la suerte supongo.