El enfoque estándar para probar que $H^n(X; G)$ está representado por $K(G, n)$ parece ser demostrar que $\text{Hom}(X, K(G, n))$ define un cohomology de la teoría y, a continuación, el uso de Eilenberg-Steenrod singularidad. Esto es absolutamente spiffing, pero tan lejos como puedo ver da un poco de intuición geométrica. En su tratamiento, Hatcher menciona que no hay una manera más directa de celda por celda de prueba, aunque un poco complicado y tedioso. No he sido capaz de encontrar ninguna prueba de ello, pero realmente me gustaría ver a uno; creo que me ayuda a solidificar mi imagen mental de Eilenberg-MacLane espacios. ¿Alguien tiene una referencia?
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Te sugiero buscar un material fundamental en la obstrucción de la teoría. Allí, se encuentran generalmente la clasificación de los mapas de $X \to Y$ con dominio de un CW-complejo en términos de cohomology grupos $H^s(X;\pi_t(Y))$. Las pruebas son a menudo muy celular, de hecho.
En el caso de que el rango es de una Eilenberg-Maclane espacio (para un grupo abelian), el sucio prueba es algo así como:
- Cualquier mapa de $X$ es homotópica a una en la que el (n-1)-esqueleto $X^{(n-1)}$ mapas para el punto de referencia $Y$.
- Un mapa en la n-esqueleto $X^{(n)}$ el envío de la (n-1)-esqueleto para el punto de base se determina, hasta homotopy, por la elección de un elemento de $G$ para cada celda n de $X$, fundamentalmente por la definición de homotopy. Este es un elemento en la n-esima de CW de la cadena de grupo $C^n_{CW}(X;G)$.
- En este mapa se extiende a todos los más altos skeleta si y sólo si la fijación de los mapas para todos los (n+1)-las células se vuelven nullhomotopic en $Y$. Así, el mapa se extiende si y sólo si es representado por un cocycle, es decir, un elemento de $Z^n_{CW}(X;G)$.
- Este es un completo invariante, hasta homotopy, de los mapas que son triviales en el (n-1)-esqueleto. (Más células tienen básicamente mapas únicos hasta homotopy.)
- Cualquier homotopy entre dos de estos mapas pueden ser empujados a un homotopy que es trivial en el (n-2)-esqueleto de la $X$.
- Tal homotopy se determina, hasta que una "pista" (un homotopy entre homotopies), por la elección de un elemento de $G$ para cada uno (n-1)-móvil de $X$.
- Tal homotopy altera el mapa en la n-esqueleto (como un elemento de $C^n_{CW}(X;G)$) mediante la adición de un coboundary elemento, algo en $B^n_{CW}(X;G)$.
- Por lo tanto, el pleno de la asignación de espacio mod homotopy es $H^n_{CW}(X;G)$.
Esto es un poco desordenado. A menudo es bueno para el uso de la filtración de $X$ por subcomplejos $X^{(n)}$ y el uso que cada inclusión en la filtración induce un fibration de asignación de espacios $$F(X^{(n)}/X^{(n-1)},Y) \to F(X^{(n)},Y) \to F(X^{(n-1)},Y)$$ para limpiar este homotopical análisis un poco en algo un poco más sistemática. Esto conduce a una espectral de la secuencia de los homotopy grupos de la asignación de espacios en los términos de la cohomology de $X$ con coeficientes en la homotopy grupos de $Y$, pero tienes que tener un poco de cuidado porque hay una "franja" que exhibe algunos no abelian-grupo-como comportamiento.
Evgeny
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381
AnonJr
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445
No sé de referencia, pero aquí es un esquema.
Paso 1. El uso de la trivialidad de la $\pi_k(K(G, n))$$k\ne n$, muestran que
(a) cualquier mapa de $X$ $K(G, n)$es homotópica a una donde la $(n-1)$-esqueleto de la $X$ va a la base del punto de $K(G, n)$;
(b) un mapa determina una función de ($n$-cochain) $f$ de la $n$-células de $X$$G$;
(c) $f$ anterior es necesariamente un cocycle (porque el mapa se extiende sobre $(n+1)$de las células); y
(d) dos de estos mapas son homotópica si (pero no solamente) en las funciones de $f$ por encima de los de acuerdo.
Paso 2. Del mismo modo, un homotopy entre dos mapas de la forma anterior determina una función de ($(n-1)$-cochain) $g$ de la $(n-1)$-células de $X$$G$.
Paso 3. Observar que si un homotopy con el correspondiente mapa de $g$ que conecta los mapas correspondientes a $f_1$ $f_2$ debe satisfacer $\delta g + f_2 - f_1 = 0$. Así, el homotopy clases de mapas a $K(G, n)$ corresponden bijectively con cocycles mod coboundaries.
