¿Es $\ln\sqrt{2}$ irracional?

Question

Sé que el logaritmo natural de cualquier número algebraico positivo es trascendental, como consecuencia del teorema de Lindemann-Weierstrass, pero ¿qué pasa con el logaritmo natural de la raíz cuadrada de dos (que es irracional)?

¿Es esto racional o irracional?

Answer 1

No solo es $\ln(\sqrt{2})$ irracional, ¡sino que también es trascendental!

Prueba: $$\Large \ln(\sqrt{2})=\ln(2^{1/2})=\frac{1}{2} \underbrace{\ln(2)}_{\in \mathbb{T}}$$ lo cual es trascendental. $\square$

Para ver por qué el producto de un número trascendental y un número algebraico no nulo es trascendental, ver esto.

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Para referencia, $\mathbb{T}$ es el conjunto de números trascendentales.

Answer 2

Si ya sabes que el logaritmo de un número algebraico positivo es trascendental, entonces todo lo que necesitas darte cuenta es que $\sqrt2$ es un número algebraico positivo. $\sqrt2$ es una raíz de $x^2-2=0$.

Por lo tanto, $\log(\sqrt2)$ es trascendental $\implies$ $\log(\sqrt2)$ es irracional.

Answer 3

IRRACIONAL

porque $\sqrt{2} = 2^{1/2}$ y por lo tanto $\ln(\sqrt{2})= 1/2 \ln(2)=$ un número irracional

Answer 4

¡Piensa que $\log\sqrt2=\frac12\log2$!