Resolver un límite con los radicales

Question

No sé cómo resolver este límite. ¿Qué debo hacer?

$$ \lim_{x\to 0} {\sqrt{x^3+2x+1}-\sqrt{x^2-3x+1} \over \sqrt{4x^2-3x+1}-\sqrt{2x^3+6x^2+5x+1}} $$

¡¡Gracias!!

Answer 1

Multiplica la expresión de un tipo especial de $1$ :

$1 = \frac{\sqrt{x^3+2x+1}+\sqrt{x^2-3x+1}}{ \sqrt{4x^2-3x+1} + \sqrt{2x^3+6x^2+5x+1}} . \frac{ \sqrt{4x^2-3x+1} + \sqrt{2x^3+6x^2+5x+1}}{ \sqrt{x^3+2x+1}+\sqrt{x^2-3x+1} }$

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$\lim \limits_{x\to 0} \frac{\sqrt{x^3+2x+1}-\sqrt{x^2-3x+1}}{ \sqrt{4x^2-3x+1} - \sqrt{2x^3+6x^2+5x+1}} \\= \lim \limits_{x\to 0} {\sqrt{x^3+2x+1}-\sqrt{x^2-3x+1} \\sqrt{4x^2-3x+1} - \sqrt{2x^3+6x^2+5x+1}} .\frac{\sqrt{x^3+2x+1}+\sqrt{x^2-3x+1}}{ \sqrt{4x^2-3x+1} + \sqrt{2x^3+6x^2+5x+1}} .\frac{ \sqrt{4x^2-3x+1} + \sqrt{2x^3+6x^2+5x+1}}{ \sqrt{x^3+2x+1}+\sqrt{x^2-3x+1} } \\= \lim \limits_{x\to 0} \frac{x^3-x^2+5x}{-2x^3-2x^2-8x} .\frac{ \sqrt{4x^2-3x+1} + \sqrt{2x^3+6x^2+5x+1}}{ \sqrt{x^3+2x+1}+\sqrt{x^2-3x+1} } \\= \lim \limits_{x\to 0} \frac{x^2-x+5}{-2x^2-2x-8} .\frac{ \sqrt{4x^2-3x+1} + \sqrt{2x^3+6x^2+5x+1}}{ \sqrt{x^3+2x+1}+\sqrt{x^2-3x+1} } $

plugin x = 0

Answer 2

Como comentó David H, racionalizando el denominador sería un buen punto de partida.

Ahora, si conoces la serie de Taylor, el problema comienza a ser simple, alrededor del $x=0$, que te hayas puesto $$\sqrt{x^3+2x+1}=1+x+O\left(x^2\right)$$ $$\sqrt{x^2-3x+1}=1-\frac{3 x}{2}+O\left(x^2\right)$$ $$\sqrt{4x^2-3x+1}=1-\frac{3 x}{2}+O\left(x^2\right)$$ $$\sqrt{2x^3+6x^2+5x+1}=1+\frac{5 x}{2}+O\left(x^2\right)$$ So, numerator is $$ \frac{5 x}{2}+O\left(x^2\right)$$and denominator is $% $ $-4 x+O\left(x^2\right)$

Estoy seguro que usted puede tomar desde aquí.

Todo lo anterior se ha hecho con el hecho de que, si es de $x$ % pequeña $$\sqrt{a+bx+cx^2+dx^3+ex^4+\cdots}\simeq \sqrt{a+bx}=\sqrt{a}+\frac{b x}{2 \sqrt{a}}+O\left(x^2\right)$$

Answer 3

Bien, para números pequeños, $$ {x^3 << x^2 << x << 1} $$ De modo que la integral dada, básicamente, se reduce a, $$ \lim_{x\to 0} {\sqrt{2x+1}-\sqrt{1-3x} \\sqrt{1-3x} - \sqrt{5x+1}} $$ como los poderes superiores del ser insignificante. Este es el mismo como omitir el menor de los exponentes de $x$ por los límites que tienden a infinito.

Recordando que para $$ { x << 1} $$ tenemos, $$ {(1 + x)^{1/2} = 1 + x/2 - x^2 / 8 + ...} $$ Podemos igualmente ignorar los mayores exponentes de x, por lo que tenemos, $$ {(1 + x)^{1/2} \approx 1 + x/2} $$ Así, el límite se simplifica a, $$ \lim_{x\to 0} {(1+x) - (1 - 3x/ 2 ) \(1 - 3x/2) - (1 + 5x/2)} $$ Lo que se reduce a $-5 \over 8$$=-0.625$.

Juicio de valor, poniendo a $x = 0.1$, $-0.65017361$ para$x = 0.01$,$-0.62692914$, como podemos ver el límite converge al valor requerido.

Espero que esta ayuda :)

Answer 4

La expresión es de la forma $\frac{\sqrt a-\sqrt b}{\sqrt c-\sqrt d}$

Racionalizar/simplificar como $\sqrt a-\sqrt b\times \frac{\sqrt a+\sqrt b}{\sqrt a+\sqrt b}\times \frac{1}{\sqrt c-\sqrt d}\times \frac{\sqrt c+\sqrt d}{\sqrt c+\sqrt d}$

Respuesta es $\frac{-5}{8}$