¿Desigualdad de concentración para la suma de cuadrados de variables aleatorias subexponenciales i.i.d.?

Question

Supongamos que $X_1, X_2, \ldots, X_n$ son independientes y cada una tiene la misma distribución con un sub-exponencial variable aleatoria $X$ (por ejemplo, $X$ es el cuadrado de una variable gaussiana normal estándar). ¿Puedo obtener una desigualdad de concentración para el cuadrado de la sub-exponencial $X_i$ digamos,

$$\mathbb{P}\left( \frac{1}{n} \left( X_1^2+\cdots+X_n^2 \right) \ge \mathbb{E}\left[X^2\right] + t \right) \le C \exp\left( - n \cdot \min\left( C_1 t^2, C_2 t, C_3 \sqrt{t} \right) \right),$$

donde $C, C_1, C_2, C_3$ ¿son constantes?

Este problema se plantea en mi investigación.

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Observación:

En realidad, para el i.i.d. sub-Gaussiano variables aleatorias $Y_i\ (i=1,\ldots,n)$ , sabía que

$$\mathbb{P}\left( \frac{1}{n} \left(Y_1+\cdots+Y_n\right) \ge \mathbb{E}\left[Y\right] + t \right) \le \exp\left( - n\cdot C_1 t^2 \right).$$

Además, como $Y_i^2\ (i=1,2,\ldots,n)$ son sub-exponencial También sabía que

$$\mathbb{P}\left( \frac{1}{n} \left(Y_1^2+\cdots+Y_n^2\right)\ge \mathbb{E}\left[ Y^2 \right] + t \right) \le \exp\left( - n\cdot \min(C_1 t^2, C_2 t) \right).$$

Estas dos desigualdades pueden demostrarse mediante un límite de Chernoff, ya que las funciones generadoras de momentos de $Y$ (subgaussiano) y $Y^2$ (subexponencial) ambos existen.

Sin embargo, quiero saber si existe una desigualdad como

$$\mathbb{P}\left( \frac{1}{n} \left( Y_1^4+\cdots+Y_n^4 \right) \ge \mathbb{E}\left[Y^4\right] + t \right) \le C \exp\left( - n \cdot \min\left( C_1 t^2, C_2 t, C_3 \sqrt{t} \right) \right),$$

aunque la función generadora de momentos de $Y^4$ (cuadrado del subexponencial) no existe.

Answer 1

No. Para i.i.d. no negativo. $Y_i$ , $$P(Y_1\ge (\mu+t)n)\le P\Bigg(\sum_{i=1}^n Y_i\ge (\mu+t)n\Bigg)\le\exp(-nf(t))$$ implica que $Y_1$ es subexponencial y un cuadrado de una subexponencial no está garantizado que sea subexponencial.

Sin embargo, puede obtener $$P(X_1^2+\dots+X_n^2>nt)\sim nP(X_1^2>nt)=n\exp(-\lambda\sqrt {nt})$$ para $X_i\sim \exp(\lambda)$ que se puede extender a todos los subexponenciales $X_i$ que tienen colas exponenciales.