¿Es posible encontrar una expresión de forma cerrada para la resistencia entre A y B de la red de escalera n-sección general, debajo, donde están los resistores \ $\small 1\Omega\$? Una expresión iterativa es bastante fácil de obtener (\ $\small R_n =2 + 1//R_{n-1})\$
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john crisp
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51
Por la inspección,el valor máximo posible de la resistencia es \$\small3\Omega\$ (para \$\small n=1\$), y para \$\small n>1\$ la resistencia debe ser \$\small >2\Omega\$, por lo tanto \$\small 2< R_n\le 3\$
El cálculo de la resistencia efectiva de los valores, \ $\small R_n\$ \ $\small n=1, \:2,\: 3,\: 4,\: 5,\: 6\:...\$ le da:
$$\small[3,\:2\frac{3}{4},\: 2\frac{11}{15},\: 2\frac{41}{56},\: 2\frac{153}{209},\: 2\frac{571}{780}\:... ]$$
Inicialmente considerando sólo las partes fraccionarias, y tomando nota de que \$\small 3= 2\frac{1}{1}\$, se puede escribir la secuencia:$$\small [1,\:1,\:3,\:4,\:11,\:15,\:41,\:56,\:153,\:209,\:571,\:780\:...]$$
La búsqueda de un catálogo de z-transformar la generación de funciones para esta secuencia determinada (http://www.lacim.uqam.ca/~plouffe/artículos/MasterThesis.pdf) da:
$$\small F(z)=\frac{z^2+z-1}{z^4-4z^2+1}$$
El denominador factorises a una forma muy conveniente (qué suerte!), y la generación de la función puede ser expresada en fracciones parciales como:
$$\small F(z)=\frac{A}{z-a}+\frac{B}{z+a}+\frac{C}{z-b}+\frac{D}{z+b}$$
donde las constantes: a, b, a, B, C, D son los siguientes:
\$\small a=\sqrt {2+\sqrt3}\$,
\$\small b= \sqrt{2-\sqrt3}\$,
\$\small A=\frac{a^2+a-1}{2a(a^2-b^2)}\$,
\$\small B=\frac{a^2-a-1}{2a(b^2-a^2)}\$,
\$\small C=\frac{b^2+b-1}{2b(b^2-a^2)}\$,
\$\small D=\frac{b^2-b-1}{2b(a^2-b^2)}\$
Inversa z-transformar \$\small F(z)\$ da la forma cerrada de la expresión de la secuencia:
$$\small f(k)=A(a)^k +B(-a)^k+C(b)^k+D(-b)^k$$
El valor de la resistencia, \$\small R_n\$, para n secciones puede ser obtenido mediante la evaluación de la última ecuación con \$\small k=2n\$\$\small k=2n-1\$, para formar el denominador y el numerador de la parte fraccional de \$\small R_n\$; y, a continuación, agregar \$\small 2\Omega\$:
$$\small R_n = 2+\frac{A(a)^{2n-1}+B(-a)^{2n-1}+C(b)^{2n-1}+D(-b)^{2n-1}}{A(a)^{2n}+B(-a)^{2n}+C(b)^{2n}+D(-b)^{2n}}$$
Esta es la forma cerrada de la expresión.
GSerg
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33571
Puede resolver esto suponiendo que la serie converge. Si esto es cierto, entonces la adición de una sección más que hace un cambio infinitesimal en el resultado. Por lo tanto, el valor que ellos están convergiendo a debe satisfacer:
$$X = 2 + \frac{1}{1 + \frac{1}{X}}$$
Resolviendo para X da \$1 \pm \sqrt{3}\$. Dado que sólo un resultado positivo tiene sentido, el valor es 2.7320508...
Pero esa no es la pregunta que realmente le de. Me temo que mis habilidades en matemáticas no se suman a la tarea de idear una solución de forma cerrada para un finito número de secciones. Sólo trabajan fuera de los primeros pasos que da:
- \$R_1 = 3\$
- \$R_2 = \frac{11}{4}\$
- \$R_3 = \frac{41}{15}\$
- \$R_4 = \frac{153}{56}\$
Los números no parecen formar un de potencia de la serie, así que probablemente hay una exponencial de los involucrados...
Koala
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6
Grandes respuestas. Usted podría preguntarse cómo Mathematica es capaz de encontrar la respuesta. Tenemos $$R_{n+1} = 2 + (1\;\|\;R_n),\;\text{with }R_0 = 3$$ o $$R_{n+1} = 2 + \frac{1}{1 + \frac{1}{R_n}} = 2 + \frac{R_n}{R_n+1}=2+\frac{R_n+1-1}{R_n+1}=3-\frac{1}{R_n+1},$$ Veamos la secuencia \$x_n = R_n + 1\$, adecuada para obtener un divisor: $$x_{n+1} = R_{n+1} + 1 = 4 - \frac{1}{R_n+1}=4 - \frac{1}{x_n}$$ I. e.: $$ \{x_n\}_0^\infty = \left\{4,\;4-\frac{1}{4},\;4-\frac{4}{15},\;\ldots\right\} $$ El truco ahora es definir de otra secuencia $$ y_{n+1} = y_{n} x_{n},\qquad y_0 = 1,$$ Entonces $$ \frac{y_{n+2}}{y_{n+1}} = x_{n+1} = 4 - \frac{1}{x_n} = 4 - \frac{y_n}{y_{n+1}},$$ Lo que da $$ y_{n+2} - 4y_{n+1} + y_n = 0$$ Esta recurrencia lineal puede ser resuelto mediante técnicas estándar. Su ecuación característica (\$z^2-4z+1=0\$), tiene ceros \$z_{1,2}=2\pm\sqrt{3},\$, por lo que la recurrencia puede ser escrito $$ y_n = A(2-\sqrt{3})^n+B(2+\sqrt{3})^n,$$ para algunos \$A\$\$B\$. Enchufar \$y_0 = 1\$ da \$B=1-A\$. De \$y_1 = y_0 x_0 = 4\$ tenemos $$ 4 = A(2-\sqrt{3})+(1-A)(2+\sqrt{3})\\ A = \frac{1}{2} - \frac{1}{3}\sqrt{3}$$
Finalmente, obtenemos la forma cerrada de la solución de $$ R_n = x_n - 1 = \frac{y_{n+1}-y_n}{y_n} = \frac{A(1-\sqrt{3})(2-\sqrt{3})^n+B(1+\sqrt{3})(2+\sqrt{3})^n}{A(2-\sqrt{3})^n+B(2+\sqrt{3})^n}$$
