¿El álgebra de Temperley-Lieb super tiene una forma de Z?

Question

De fondo Vamos a V denota el estándar (2 dimensiones) módulo de la Mentira álgebra sl₂(C), o, equivalentemente, para el universal de sobres U = U(sl₂(C)). La Temperley-Lieb álgebra TL_d es el álgebra de intertwiners de la d veces tensor de energía de V.

TL_d = Fin_U(V⊗...⊗V)

Ahora, deja que el grupo simétrico, y de ahí su grupo de álgebra CS_d, ley sobre el derecho de V⊗...⊗V por permuting tensor de factores. De acuerdo a Schur-Weyl dualidad, V⊗...⊗V (U,CS_d)-bimodule, con la imagen de cada uno de álgebra en_C(V⊗...⊗V) es el centralizador de los otros.

En otras palabras, el TL_d es un cociente de CS_d. El núcleo es fácil de describir. Primera descomponer el grupo de álgebra en su Wedderburn componentes, uno de álgebra de matrices para cada una irrep de S_d. Estos son en bijection con particiones de d, que debemos imagen como Jóvenes diagramas. La representación es fiel en cualquier componente indexado por un diagrama con un máximo de 2 filas y aniquila todos los demás componentes.

Hasta el momento, he evitado deliberadamente la descripción de la Temperley-Lieb álgebra como un diagrama de álgebra en el sentido de que Kauffman describe. He aquí el problema: por cambio de variables en S_d a u_i = s_i + 1, donde s_i = (i+1), la estructura de los coeficientes en TL_d son todos los números enteros, de manera que se puede definir un ℤ de forma TL_d(ℤ) por estas fórmulas.

TL_d = C ⊗ TL_d(ℤ)

Como producto de la matriz de álgebras (como en la descomposición de Wedderburn), TL_d tiene un ℤ, así: a saber, las matrices de las mismas dimensiones más ℤ. Estos dos anillos son muy diferentes, siendo este último el más trivial desde el punto de vista de nudo de la teoría. Sólo se convierten en isomorfo después de un cambio de base a C.

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No es un super-analógico de toda esta historia. Sea U = U(gl_1/1(C)), vamos a V estándar (1/1)-dimensiones del módulo, y dejar que el grupo simétrico ley firmado por permutaciones (cuando dos impares vectores de la cruz, un signo aparece). Un análogo de Schur-Weyl dualidad de la declaración de retenciones, y por lo tanto, por analogía, que yo llamo el álgebra de intertwiners la super-Temperley-Lieb álgebra, o STL_d.

Sobre los números complejos, STL_d es un producto de una matriz álgebra de operadores correspondientes a las irreps de S_d indexados por el gancho de particiones. Jóvenes diagramas están confinados a una fila y una columna (super-fila!). En ese sentido, STL_d se entiende. Sin embargo, idempotents involucrados en proyectar sobre estas Wedderburn componentes son cosas desagradables que no se puede definir más de ℤ

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Pregunta 1: ¿STL_d tener un ℤ de forma que es compatible con el estándar de base para CS_d?

Pregunta 2: soy pesimista acerca de Q1; por lo tanto, el seguimiento: ¿por qué no? Sospecho que esto tiene algo que ver con la celularidad.

Pregunta 3: que me importa q-deformaciones de todo lo mencionado: U_q y la Hecke álgebra, respectivamente. Lo que aquí? Estoy buscando una presentación de STL_d,q , definida sobre ℤ[q,^-1].

Answer 1

Depende de lo que quieres decir con "compatibles". Para cualquier Z-forma de un finito-dimensional C-álgebra, hay un canónica Z-formulario para cualquier cociente dado por la imagen (la imagen es una finitely generado abelian subgrupo, y por lo tanto una celosía). Voy a notar que la forma integral de Bruce sugiere a continuación es precisamente la inducida por los Kazhdan-Lusztig base, ya que su presentación es la presentación de la Hecke álgebra a través de la K-L vectores de la base para las reflexiones, con el adicional de las relaciones.

Lo que usted podría perder cuando usted toma cocientes es positividad (que supongo que es una de las cosas que están después). El Hecke álgebra de S_n tiene una base tan bonito que yo llamaría "canónica", pero generalmente se llama Kazhdan-Lusztig. Esta base tiene una muy fuerte positividad de la propiedad (la estructura de los coeficientes son los polinomios de Laurent con número entero positivo de los coeficientes). Yo diría que esta es la estructura que están interesados en preservar en el cociente.

Si desea una base de un álgebra a descender de un cociente, es mejor que la esperanza de que la intersección de la base con el kernel que es una base del núcleo de modo que la imagen de la base es una base y un montón de 0's). Un ideal en el Hecke álgebra que tiene una base dada por un subconjunto de los KL base se llama "de un celular."

El núcleo de el mapa a TL_d, y, más generalmente, para Finalizar_{U_q(sl_n)}(V^⊗d) para cualquier n y d, es la de un celular. Básicamente, esto es debido a que el parititions correspondiente a los muertos de las representaciones de la forma superior de un orden ideal en el dominio poset de particiones.

Sin embargo, el núcleo del mapa a STL_d es no celular. En particular, todos los celulares ideal contiene la alternancia de representación, por lo que cualquier cociente donde la alternancia de representación sobrevive no es la de un celular. Así, mientras STL_d hereda una perfectamente buena Z-forma, no hereda ningún particular base de la Hecke álgebra.

Estoy realmente seguro de si se trata realmente de un problema desde su punto de vista. Quiero decir, la representación de V^⊗d todavía tiene una base en la que la imagen de cualquier positivos integral combinación lineal de KL vectores de la base actúa con coeficientes enteros positivos. Sin embargo, no creo que esto garantiza cualquier tipo de positividad de la estructura de los coeficientes. También, Stroppel y Mazorchuk tener un categorification de la Artin-Wedderburn base de S_n, así que tal vez no es tan malo como pensaba.

De todos modos, si la gente quiere tener un verdadero debate acerca de esto, sugiero que nos jubilemos a los nLab. He empezado una página relevante allí.

Answer 2

Definiría esta álgebra de una presentación. Esta álgebra es $\mathbb{Z}[\delta]$ pero usted puede especializarse a $\mathbb{Z}[q,q^{-1}]$ tomando $\delta\mapsto q+q^{-1}$.

Los generadores son $u_1,\ldots ,u_{n-1}$ (tiene $n$ donde OP $d$). A continuación, define las relaciones
$$u_i^2=\delta u_i$$ $$u_iu_j=u_ju_i\qquad\text{if $|i-j|>1$}$$ $$u_iu_{i+1}u_i-u_i=u_{i+1}u_iu_{i+1}-u_{i+1}$$ $$u_{i-1}u_{i+1}u_i(\delta-u_{i-1})(\delta-u_{i+1})=0$$ $$(\delta-u_{i-1})(\delta-u_{i+1})u_iu_{i-1}u_{i+1}=0$$

¿Esta cuenta?

Si usted quiere mover esto a nLab está bien por mí.