Producto de los principales ideales: $(a)\cdot (b) = (a b)$

Question

En qué tipos de anillos $R$ se cumple lo siguiente:

$$(a)\cdot (b) = (ab) \; ?$$

Con $a, b\in R$ , $(a)$ denotando el ideal (de dos lados) generado por $a$ y la multiplicación de los ideales $I, J\subset R$ definido como $$ I\cdot J = \biggl\{\sum_{i=1}^n x_i y_i : n\in\mathbb{N}, x_i \in I, y_i \in J \biggr\}\, .$$

Me parece que sólo es válido para anillos conmutativos con $1$ . ¿Es eso cierto?

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Ok, estoy intentando una prueba:

Dejemos que $R$ sea conmutativo con $1\in R$ . Entonces $(a)\cdot (b) = (a b)$ para cualquier $a, b\in R$ .

Primero dejemos $I_a := \{ra : r\in R\}$ vamos a demostrar que $$(a) = I_a\, .$$ $I_a$ es obviamente un ideal. Como $1 \in R$ tenemos $1 \cdot a \in I_a$ Así que $(a) \subset I_a$ . Por otro lado, cualquier $x \in I_a$ puede escribirse como $x = ra$ y por lo tanto debe ser un elemento de $(a)$ . Esto demuestra que $(a) = I_a$ .

Entonces $$(a)\cdot (b) = I_a \cdot I_b = \biggl\{\sum_{i=1}^n x_i y_i : n\in\mathbb{N}, x_i \in I_a, y_i \in I_b \biggr\} = \biggl\{\sum_{i=1}^n (r_i a) (s_i b) : n\in\mathbb{N}, r_i, s_i \in R \biggr\} = \biggl\{a b \sum_{i=1}^n r_i s_i : n\in\mathbb{N}, r_i, s_i \in R \biggr\} = \biggl\{a b r : r \in R \biggr\} = I_{ab} = (ab)\, .$$

Obviamente tuvimos que usar eso $R$ es conmutativo. En el último paso también hemos utilizado que cada $r \in R$ puede escribirse como $r=\sum_{i=1}^n r_i s_i$ . Esto se debe a que $1 \in R$ Así que con $n=1$ tenemos $r = 1\cdot r$ .

Answer 1

Toma $R:=M_2(\mathbb{R})$ .

$$a=b:=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix} $$

Entonces:

$$(ab)=(0)=\{0\} $$

Sin embargo:

$$\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0&1\\1&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix} \in (a),(b) $$

Y :

$$\begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix}\neq 0$$

Así que $(a).(b)\neq(ab)$ .

Aquí he utilizado el hecho de que hay nilpotentes de orden $2$ en el anillo no conmutativo. No sé si se puede encontrar un ejemplo para un anillo no conmutativo sin elementos nilpotentes (me parece más difícil...).

Ahora para $(a)(b)=(ab)$ en anillos conmutativos.

Afirmo que esto no se cumple para los anillos conmutativos sin unidad. Primero una definición :

En un anillo conmutativo $A$ , para $a\in A$ Defino $(a)$ para ser el conjunto $\{ba|b\in A\}$ . Es un ideal de $A$ . Nótese que esta definición no implica que $a\in (a)$ (lo hace si $A$ tiene una unidad).

Toma $A_0:=\mathbb{Z}[X,Y]$ y $A:=(X,Y)$ es un ideal de $A$ y, por tanto, un anillo (aunque no tenga una unidad, es un grupo aditivo cerrado para la multiplicación). A partir de ahora hay que tomar cualquier ideal como un ideal del anillo $A$ (y no $A_0$ ).

Entonces toma $a:=X$ y $b:=Y$ . Afirmo que $abX=X^2Y\in (ab)$ pero :

$$X^2Y\notin (a)(b) $$

La prueba es sencilla porque cualquier elemento de $(a)$ o $(b)$ es nulo o tiene un grado total $\geq 2$ por lo que un elemento no nulo de $(a)(b)$ tiene un grado total $\geq 4$ pero $X^2Y$ es de grado total $3$ .

Así que concluiría diciendo que tanto la conmutatividad como la unidad son esenciales para este resultado. Sin embargo, todavía estoy tratando de encontrar un anillo no conmutativo en el que $ab=0$ implica $a=0$ o $b=0$ con una unidad para la que la relación no se mantiene... Veamos si esto funciona :

$$A:=\mathbb{C}<X,Y> $$

Es el anillo de "polinomios" sobre $\mathbb{C}$ para lo cual $XY\neq YX$ (existe...). Afirmo que se trata de un anillo con una unidad (contiene $\mathbb{C}$ ) y además si $ab=0$ entonces $a=0$ o $b=0$ para este anillo. Sin embargo, si :

$$a:=X^2\text{and } b:=Y^2 $$

Entonces $X^2Y\in (a)$ , $XY^2\in (b)$ pero :

$$X^2YXY^2\notin (X^2Y^2) $$

Así que la relación no se mantiene para el "dominio no conmutativo" incluso con la unidad.