grupo libre generado por polinomios

Question

Alguien me preguntó recientemente cómo probar que $x+1$ y $x^3$ generar un grupo libre. Un colega ha elaborado una prueba. Tengo un vago recuerdo de que esto ha sido estudiado, ¿quizás un problema mensual? ¿Alguien conoce algún antecedente sobre esto?

Edición: Perdón por haber omitido un punto clave. La operación de grupo aquí es la composición de funciones sobre los reales, o los enteros. Cada uno de los polinomios puede ser visto como una permutación de Z = todos los enteros (o en los reales). Visto así, generan un grupo libre (de rango dos).

Answer 1

Se trata de una pregunta formulada por Harvey Friedman (no sé dónde ni cuándo) y que fue resuelta por primera vez por Samuel White en 1988, El grupo generado por $x \mapsto x + 1$ y $x \mapsto x^p$ es libre Journal of Algebra, volumen 118, número 2, 1 de noviembre de 1988, páginas 408-422.

Hay una solución incompleta anterior de Zassenhaus en Sobre un problema de Harvey Friedman Communications in Algebra, volumen 6, número 16, 1978.

Puedes encontrar más referencias en el punto II.40 del libro de De la Harpe Topics in Geometric Group theory.

Answer 2

No estoy seguro de un grupo libre, pero un semigrupo libre es fácil de demostrar. Supongamos que tenemos $$g_1 \circ g_2 \circ \cdots \circ g_m(x) = h_1 \circ h_2 \circ \cdots \circ h_n(x)$$ donde cada $g_i$ y $h_i$ es $x \mapsto x+1$ o $x \mapsto x^3$ . Dado que ambos generadores son invertibles (como mapas $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ ), podemos suponer que $g_1 \neq h_1$ . Diga $g_1$ es $x \mapsto x^3$ que $h_1$ , $h_2$ , ..., $h_k$ son $x \mapsto x+1$ y $h_{k+1}$ es $x \mapsto x^3$ . (Si todos los $h$ son $x \mapsto x+1$ entonces tenemos $p(x)^3 = x+k$ (claramente erróneo).

Así que, en su lugar, tenemos $p(x)^3 = q(x)^3+k$ . Ahora busca tu prueba favorita del Último Teorema de Fermat para polinomios. Aquí están las dos primeras que encontré: 1 2 .