Mapa de medidas invariantes de la duplicación en el intervalo cerrado

Question

Considere la posibilidad de duplicar el mapa de $g\colon [0,1]\to [0,1]$$g(x)=2x \, {\rm mod}\; 1$. Claramente, es discontinua en 1/2. Sin embargo, su homólogo $G$ sobre el círculo $G(e^{2\pi i \theta}) = e^{4\pi i \theta}$ ($\theta\in [0,1)$) es continua, por tanto, $G$ tiene muchas medidas invariantes.

Muy a menudo se afirma en ergodic theory libros que uno puede eliminar la discontinuidad de $g$, pasando el círculo (mediante la identificación de los puntos de terminación de $[0,1]$). Sin embargo, no me queda claro si esta operación afecta a la $g$-invariante medidas o no.

Hay una correspondencia uno a uno entre el $g$-invariante medidas en $[0,1]$ $G$- invariantes en el círculo?

A mí me parece que esto se podría hacer si tomamos en cuenta sólo los $g$-invariante medidas cuyas funciones de distribución de probabilidad se desvanecen en 0. ¿Puedo obtener este derecho?

Laico de explicación con respecto a pasar de que el intervalo para el círculo en el caso de la duplicación del mapa sería muy apreciada.

Answer 1

La diferencia es muy pequeña y puede, en la mayoría afecta a las medidas que asignar masas a $0$ y/o $1$.

Si definimos $g(x) = \lfloor 2x \rfloor$, $g$ es un mapa de$[0,1]$$[0,1)$. Invariantes medida debe asignar cero a medida $\{1\}$ y el Borel-sigma álgebra de $[0,1)$ es isomorfo (para cualquier medida de Borel) a $S^1={\Bbb R}/{\Bbb Z}$. Así que en este caso se pueden identificar las medidas en los dos casos.

Si, sin embargo, puede definir por ejemplo,$g(x)=2x$$x\in [0,0.5]$$g(x)=2x-1$$x\in (0.5]$, entonces usted realmente tiene dos invariantes distintos dirac masas en$0$$1$. Tiene un escenario similar para otras variaciones de definir el mapa en los puntos finales.

Pero la diferencia será menor. En particular, si usted se considera una medida que no asigna masa a 0 o a 1, a continuación, a partir de una medida punto de vista no hay ninguna diferencia entre este sistema y el círculo, la duplicación del mapa.