Simplificar

Question

Yo estaba haciendo un problema y en mi cadena de cómputos llegué a una aparentemente complicada función $$2 \sin(x) \cos(7x) + \sin(6x)$ $

Sin embargo, escribió en Wolfram y se sorprendió al encontrar $$2 \sin(x) \cos(7x) + \sin(6x) = \sin(8x)$ $

¿Hay una manera pude haber visto esto antes? Incluso ahora no estoy seguro cómo pruebo esta identidad.

Answer 1

$$2\sin(x)\cos(7x)+\sin(6x)=2\sin(x)\cos(7x)+\sin(7x-x)$$

$$=2\sin(x)\cos(7x)+\sin(7x)\cos(x)-\sin(x)\cos(7x)$$

$$=\sin(x)\cos(7x)+\sin(7x)\cos(x)=\sin(8x)$$

Answer 2

Hay un grupo de identidades llamado las identidades de producto a suma (Wikipedia tiene una lista muy útil de este tipo de cosas); que es relevante aquí es la siguiente: $$\sin\alpha\cos\beta = \frac{\sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta)}{2}$ $

Aplicando lo anterior, tenemos:

$$\begin{align} 2\sin x \cos 7x + \sin 6x &= 2\big( \frac{\sin 8x + \sin (-6x)}{2}\big) + \sin 6x\\ &=\sin 8x -\sin6x + \sin 6x\\ &=\sin 8x \end {Alinee el} $$

Answer 3

Si no quieres recordar o buscar cualquier identidades trigonométricas en todos, usted puede convertir todo en exponenciales:

\begin{eqnarray} 2 \sin x \cos (7x) + \sin (6x) &=& 2\left(\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}\right)\left(\frac{e^{7ix}+e^{-7ix}}{2}\right) + \frac{e^{6ix}-e^{-6ix}}{2i}\\ &=&\frac{1}{2i}\left(e^{8ix}-e^{6ix}+e^{-6ix}-e^{-8ix} + e^{6ix}-e^{-6ix}\right)\\ &=&\frac{e^{8ix}-e^{-8ix}}{2i}\\ &=&\sin(8x) \end{eqnarray}

Answer 4

Otro método. Tomar el derivado, que termina siendo $8\cos(8x)$ y luego integrar para obtener $\sin(8x)$