¡Calcular probabilidades en las carreras de caballos!

Question

He visto algunos hilos similares a este en diferentes foros pero no parecen concluir con una respuesta satisfactoria. Mi pregunta es esta:

Si tienes 3 caballos, A, B y C y conoces las probabilidades de ganar de cada caballo corriendo en pareja, ¿cómo calculas sus probabilidades de ganar si los 3 caballos corren juntos? ¿Hay una fórmula para n número de caballos?

Así que sabes las probabilidades de: A vencer a B A que le gane a C BA BC CA CB

Inicialmente pensé que: p(A ganar) = p(A vencer a B). p(A vencer a C) Pero esto está claramente mal.

¡¿Puede alguien ayudar, por favor?! Muchas gracias. Matt

Answer 1

Ampliando el comentario de Tony K, he aquí un ejemplo (extremo) de por qué es imposible.

Digamos que tenemos tres caballos muy extraños:

• El caballo A corre la carrera en $1$ segundo con probabilidad $1/2$ y en $9$ segundos con probabilidad $1/2$ .
• El caballo B corre la carrera en $3$ segundos con probabilidad $1/2$ y en $7$ segundos con probabilidad $1/2$ .
• El caballo C siempre corre la carrera en $5$ segundos.

Entonces no es difícil comprobarlo, en las carreras cara a cara, $P(A \text{ beats } B) = P(A \text{ beats } C) = P(B \text{ beats } C) = 1/2$ .

En una carrera a tres bandas, A ganará siempre que corra rápido, por lo que $P(A \text{ wins})=1/2$ . Si A no corre rápido, B ganará si corre rápido, y C ganará si B corre lento. Así que $P(B \text{ wins})=P(C \text{ wins})=1/4$ .

Por otro lado, digamos que tenemos tres caballos más normales; de hecho, los caballos D, E y F son tan normales que son idénticos entre sí en todos los sentidos. Entonces debe ser cierto que $P(D \text{ beats } E) = P(D \text{ beats } F) = P(E \text{ beats } F) = 1/2$ de nuevo. Pero en este caso, cada caballo debe tener un $1/3$ probabilidad de ganar toda la carrera.

Es decir, hemos encontrado dos conjuntos de tres caballos tales que:

• Las probabilidades de enfrentamiento son idénticas entre ellos.
• Las probabilidades de ganar una carrera a tres bandas son diferentes.

Por lo tanto, no puede haber ninguna forma de calcular la probabilidad de 3, dado sólo el conocimiento de las probabilidades de cara a cara.

EDITAR:

El problema es que las probabilidades de victoria a tres bandas dependen no sólo de las habilidades medias de los caballos, sino también de su fiabilidad. Un caballo que es muy poco fiable (a veces corre muy rápido y a veces muy lento) generalmente lo hará mejor en una carrera a tres bandas que en una carrera a dos bandas, porque si corre muy rápido contra uno de sus oponentes, ¡corre muy rápido contra los dos! Observa que mis tres caballos terminan el recorrido en el mismo tiempo de media, pero el caballo A sigue ganando por ser poco fiable.

En resumen, si quiere calcular las probabilidades de victoria a tres bandas, tendrá que saber o suponer algo sobre el rendimiento de un caballo varía así como sobre su rendimiento medio. No hay forma de obtener estos datos a partir de las probabilidades de victoria de 2 vías.

Answer 2

Para $X,Y,Z\in\{A,B,C\}$ , dejemos que $P_{XY}$ sea la probabilidad de que $X$ gana contra $Y$ y que $P_{XYZ}$ sea la probabilidad de que la carrera termine en el orden $X$ primero, $Y$ segundo, $Z$ tercero. Entonces $$P_{XY} = P_{XYZ} + P_{XZY} + P_{ZXY}.$$

Escribir esas ecuaciones explícitamente para el $6$ posibilidades de distribución $A,B,C$ a las cartas $X,Y,Z$ obtenemos el sistema de ecuaciones lineales

$$ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}P_{ABC} \\ P_{ACB} \\ P_{BAC} \\ P_{BCA} \\ P_{CAB} \\ P_{CBA}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}P_{AB} \\ P_{BA} \\ P_{AC} \\ P_{CA} \\ P_{BC} \\ P_{CB}\end{pmatrix} $$

Si la matriz del sistema de ecuaciones $M$ era invertible, podíamos reconstruir los valores $P_{XYZ}$ (y por tanto la probabilidad de que $A$ gana) a partir de los valores $P_{XY}$ . Pero resulta que $M$ no es invertible. En cambio, tiene el núcleo no trivial abarcado por $(1,0,-1,0,-1,1)$ y $(0,1,-1,1,-1,0)$ .

Este conocimiento puede ser utilizado para la construcción de un contraejemplo, mostrando que en general, es no es posible para predecir la probabilidad de victoria de $A$ .

Tres caballos iguales dan $P_{ABC} = P_{ACB} = \ldots = 1/6$ y $P_{AB} = P_{BA} = \ldots = 1/2$ . Caballo $A$ gana con probabilidad $1/3$ .

El vector $v = (1/12,1/12,-1/6,1/12,-1/6,1/12)$ está en el núcleo de $M$ . Modificando el ejemplo anterior para los tres caballos iguales por este vector, obtenemos las probabilidades $P_{ABC} = 1/6 + 1/12 = 1/4$ , $P_{ACB} = 1/4$ , $P_{BAC} = 0$ , $P_{BCA} = 1/4$ , $P_{CAB} = 0$ , $P_{CBA} = 1/4$ . Caballo $A$ gana con probabilidad $1/2$ . Dado que el vector $v$ está en el núcleo, los valores $P_{AB}, P_{AC}, \ldots$ son los mismos que antes.

Esto demuestra que para $P_{AB} = P_{AC} = \ldots = 1/2$ es posible que $A$ gana con probabilidad $1/3$ así como que $A$ gana con probabilidad $1/2$ . (Nótese que el contraejemplo construido es el mismo que en el post de Miqueas).

Answer 3

Tenemos las siguientes ecuaciones: $$ P(12)=P(123)+P(132)+P(312),P(13)=P(123)+P(132)+P(213), P(23)=P(123)+P(213)+P(231), P(123)+P(132)+P(213)+P(231)+P(312)+P(321)=1. $$

$ P(i,j) $ son conocidos, $ P(k,n,m)$ y luego $$ P(1)= P(123)+P(132), P(2)= P(213)+P(231), P(3)= P(312)+P(321), $$ debería encontrarse a partir de estas ecuaciones (si encontramos $ P(n) $ sabremos $ P(k,n,m))$ . La respuesta es clara.

Añadido en relación con los temas

$ P(n)$ - probabilidad de que el n-ésimo caballo gane entre los demás, $ P(i,j)$ - probabilidad de que el i-ésimo caballo gane al j-ésimo, $ P(k,m,n)$ - probabilidad de que el k-ésimo caballo gane al m-ésimo y el m-ésimo caballo gane al n-ésimo.

Como he señalado antes, si encontramos $ P(n) (via P(i,j))$ , entonces las probabilidades $ P(k,m,n) $ se conocerá. Por lo tanto, la solución de estas ecuaciones para $ P(k,n,m) (0 \le P(k,n,m)\le 1)$ proporciona una respuesta precisa y completa a la pregunta del tema. En función de los valores de $ P(i,j) $ son posibles los siguientes casos:

1) Las ecuaciones tienen muchas soluciones para $ P(k,n,m)$ . En este caso las probabilidades $ P(k,m,n)$ no se determinan de forma única a través de $ P(i,j)$ (respectivamente, $ P(n) via P(i,j))$ .

2) Las ecuaciones tienen una solución única, y por tanto dan una dependencia única $ P(n) via P(i,j)$ . Ejemplo: $ P(1,2)=1, P(2,3)=1$ . Puede encontrar más ejemplos interesantes.

3) Las ecuaciones no tienen solución (los datos iniciales son incorrectos). Ejemplo: $P(1,2)+P(2,3)<P(1,3)$ .