Clopen subconjuntos de $A^\Bbb N$ % finito $A$

Question

Deje $A$ ser un conjunto finito con la topología discreta y deje $X = A^\Bbb N$ ser el espacio del producto. Vamos $$ \pi_n:X\a^n $$ ser el mapa de proyección, es decir,$\pi_n(x_1,\dots,x_{n},x_{n+1},\dots) = (x_1,\dots,x_n)$. Cada mapa induce una partición de $X$, lo que se denota como $[x]_n=:\pi_n^{-1}(\pi_n(x))$. Tales conjuntos de $[x]_n$ son los cilindros de la topología producto en $X$. Como se ha señalado aquí, para cada una de las $x$ $n$ el cilindro $[x]_n$ es clopen en $X$ y por lo tanto aquellos que son finitos, los sindicatos de los cilindros.

Mi pregunta es la siguiente: ¿es cierto que clopen subconjuntos de a $X$ son exactamente finito sindicatos de cilindros - de lo contrario, estoy interesado en un contraejemplo. ¿La situación de cambio en el caso de $A$ es contable?

Supongo que esta pregunta también está relacionado, pero no estoy seguro de si las respuestas no se aplican directamente aquí.

Answer 1

Sí.

Deje $\sigma \in A^{<\mathbb{N}}$, es decir, una cadena de longitud finita de elementos de $A$. Vamos $[\sigma] = \{f \in A^{\mathbb{N}} : \sigma \preceq f\}$. $[\sigma]$ es un clopen conjunto. Por lo finito de la unión de estos del cyclinder conjuntos de clopen.

Por el Teorema de Tychonoff, este espacio es compacto. (También puede utilizar Débil König Lema para demostrar la compacidad.) Supongamos $L$ es un clopen subconjunto de $X = A^{\mathbb{N}}$. Los cilindros forman una base para esta topología. $L$ es abierta por lo que es una contables de la unión de $\mathcal{A}$ de cyclinders. Desde $L$ es subconjunto cerrado de un conjunto compacto, $L$ es compacto. Así que de un número finito de subcolección de $\mathcal{A}$ de estos cyclinders cubierta $L$. Pero la unión de los cilindros en $\mathcal{A}$$L$, por lo que estas un número finito de cilindros también de la unión hasta el $L$. Por lo $L$ es una unión finita de cyclinders.

Answer 2

Sólo para añadir un poco acerca de la $A^\mathbb{N}$ donde $A$ es infinito, considerar sólo $\mathbb{N}^\mathbb{N}$.

Tenga en cuenta que $$U = \bigcup_{i \in \mathbb{N}} [ \langle 2i \rangle ]$$ is a union of infinitely many cylinders whose complement $$V = \bigcup_{i \in \mathbb{N}} [ \langle 2i+1 \rangle ]$$ es también una unión de infinidad de cilindros. Por lo tanto, ambos son clopen. Por lo que la situación cambia en el caso infinito.

Por supuesto, usted puede copiar los ejemplos de la infinita sindicatos de cilindros en $\{0,1\}^\mathbb{N}$ que no clopen en este caso, también. Por ejemplo, si para cada una de las $i \in \mathbb{N}$ denotamos por a $\sigma_i$ la secuencia de $\langle 0 \cdots 0 1 \rangle$ de la longitud de la $i+1$, mientras que $$W = \bigcup_{i \in \mathbb{N}} [ \sigma_i ]$$ es claramente abierto, no se cierra como la constante de secuencia cero es en el cierre de la serie.