En la preparación para una charla introductoria en la categoría de teoría, recientemente he pasado algún tiempo pensando acerca de las transformaciones naturales. El primer ejemplo, o tal vez la segunda, que todo el mundo da para motivar el concepto de una transformación natural es el doble doble: de un espacio vectorial es naturalmente isomorfo a su doble doble, y la categoría de la teoría que hace de esta noción precisa diciendo que hay un isomorfismo natural entre la identidad functor y el doble doble de la functor $\text{Vec}_k\to\text{Vec}_k$. En este punto, quien está dando el ejemplo se advierte que el doble functor $\text{Vec}_k^{\text{op}}\to\text{Vec}_k$ no es naturalmente isomorfo al functor identidad, y esto es debido a que la fabricación de un isomorfismo entre un espacio vectorial y su dual requiere la elección de una base.
Pero nadie lo demuestra! Implícitamente, hay un "teorema" de aquí a la siguiente efecto:
"Teorema": no es natural isomorfismo entre la identidad functor $\text{Vec}_k\to\text{Vec}_k$ y el doble functor $\text{Vec}_k^{\text{op}}\to\text{Vec}_k$.
El problema con este "teorema" es que, a mi conocimiento, no tiene sentido hablar de una transformación natural entre un colectivo y un functor contravariante. La obvia conmutativo el diagrama de escribir, algo así como $$ \newcommand{\ra}[1]{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\xrightarrow{\quad#1\quad}\!\!\!\!\!\!\!\!} \newcommand{\la}[1]{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\xleftarrow{\quad#1\quad}\!\!\!\!\!\!\!\!} \newcommand{\da}[1]{\left\downarrow{\scriptstyle#1}\vphantom{\displaystyle\int_0^1}\right.} % \begin{array}{ll} V & \ra{f} & W \\ \da{\eta_V} & & \da{\eta_W} \\ V^* & \la{f^*} & W^* \\ \end{array}, $$ es casi seguro que no conmutan-tome, por ejemplo, $f=0$. Este error es causado por la contravarianza de la doble functor, no su unnaturality.
Mi pregunta, entonces, es esta: que precisa de la afirmación de que no existe un isomorfismo natural entre la identidad functor y el doble functor, y lo demuestran.
