Demostrar que el isomorfismo entre espacios vectoriales y sus duales no es natural

Question

En la preparación para una charla introductoria en la categoría de teoría, recientemente he pasado algún tiempo pensando acerca de las transformaciones naturales. El primer ejemplo, o tal vez la segunda, que todo el mundo da para motivar el concepto de una transformación natural es el doble doble: de un espacio vectorial es naturalmente isomorfo a su doble doble, y la categoría de la teoría que hace de esta noción precisa diciendo que hay un isomorfismo natural entre la identidad functor y el doble doble de la functor $\text{Vec}_k\to\text{Vec}_k$. En este punto, quien está dando el ejemplo se advierte que el doble functor $\text{Vec}_k^{\text{op}}\to\text{Vec}_k$ no es naturalmente isomorfo al functor identidad, y esto es debido a que la fabricación de un isomorfismo entre un espacio vectorial y su dual requiere la elección de una base.

Pero nadie lo demuestra! Implícitamente, hay un "teorema" de aquí a la siguiente efecto:

"Teorema": no es natural isomorfismo entre la identidad functor $\text{Vec}_k\to\text{Vec}_k$ y el doble functor $\text{Vec}_k^{\text{op}}\to\text{Vec}_k$.

El problema con este "teorema" es que, a mi conocimiento, no tiene sentido hablar de una transformación natural entre un colectivo y un functor contravariante. La obvia conmutativo el diagrama de escribir, algo así como $$\newcommand{\ra}[1]{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\xrightarrow{\quad#1\quad}\!\!\!\!\!\!\!\!} \newcommand{\la}[1]{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\xleftarrow{\quad#1\quad}\!\!\!\!\!\!\!\!} \newcommand{\da}[1]{\left\downarrow{\scriptstyle#1}\vphantom{\displaystyle\int_0^1}\right.} % \begin{array}{ll} V & \ra{f} & W \\ \da{\eta_V} & & \da{\eta_W} \\ V^* & \la{f^*} & W^* \\ \end{array},$$ es casi seguro que no conmutan-tome, por ejemplo, $f=0$. Este error es causado por la contravarianza de la doble functor, no su unnaturality.

Mi pregunta, entonces, es esta: que precisa de la afirmación de que no existe un isomorfismo natural entre la identidad functor y el doble functor, y lo demuestran.

Answer 1

Existe la noción de un dinatural transformación (ver Mac Lane del libro o la nlab), con el cual usted puede comparar, en particular, covariante con contravariante functors. Esto, en esencia, se reduce a que el diagrama que has encontrado, y su prueba muestra que cada dinatural transformación de $\mathrm{id} \to D$ es igual a cero, donde el $D$ es el doble de espacio vectorial functor.

Por cierto, ya que usted está interesado en los ejemplos de (no) connaturalidad, creo que lo siguiente es bastante agradable y primaria: Si $X$ tiene más de tres elementos, vamos a $X^2 \to X$ ser la proyección a la segunda coordenada. Si $X$ tiene más de tres elementos, vamos a $X^2 \to X$ ser la proyección de la primera coordenada. Esto no es una transformación natural de "$\mathrm{id}_{\mathsf{Set}}^2$"$\mathrm{id}_{\mathsf{Set}}$.