¿Puede existir el límite de un producto si ninguno de sus factores existen?

Question

Muestran un ejemplo donde ni $\lim\limits_{x\to c} f(x)$ o $\lim\limits_{x\to c} g(x)$ existe pero existe $\lim\limits_{x\to c} f(x)g(x)$.

Lo siento si esto parece elemental, acabo de empezar mi carrera...

Gracias de antemano.

Answer 1

Por ejemplo $f(x)=0$ $x\in\mathbb{Q}$, $f(x)=1$ $x\notin\mathbb{Q}$, $g(x)=1$ $x\in\mathbb{Q}$, $g(x)=0$ $x\notin\mathbb{Q}$.

Answer 2

Mirando el panorama un poco, la idea detrás de la mayoría de las respuestas dadas funciona no solo para el producto, sino también para la suma, diferencia, cociente, exponente, y la mayoría de las operaciones binarias.

La idea común es que para muchas maneras en que f puede variar, g también puede variar de alguna manera que la anula, haciendo que el producto (o suma, etc.) constante. Por ejemplo, como $f(x) \neq 0$, establecimiento $g(x) := \frac{1}{f(x)}$ hace que su producto $g(x)f(x)$ la función constante 1. Del mismo modo, teniendo en $g(x) := -f(x)$ haría que su suma constante.

Ahora, a buscar algunas de las $f$, de tal manera que $\lim_{x \to c}f(x)$ no existe, pero la satisfacción de $f(x) \neq 0$ (o cualquier otra restricción era necesaria para la definición de las $g$ anterior). Una manera de no convergen, evitando 0, es a oscilar dentro de algunos fijos estrictamente positivo gama, así como un primer intento, uno podría pensar en algo como $f(x) := 2 + \sin(x)$. Este es siempre distinto de cero, y su límite como $x \to \infty$ no está definido debido a la oscilación; pero esto no funciona ya que queríamos que el límite como algo de valor específico, no en el infinito.

Así, el cambio es para hacer esas oscilaciones ocurren como $x$ enfoques $0$ invirtiendo el argumento, la configuración de $f(x) := 2 + \sin \frac{1}{x}$ $x \neq 0$ (y hacer todo lo que queremos para $x=0$, por ejemplo,$f(0) = 1$). Ahora, esto se da una función continua en todas partes, excepto en $x=0$, oscilando como $x$ $0$ suficiente que $\lim_{x \to 0} f(x)$ no existe, y siempre distinto de cero, de modo que podemos establecer $g(x) = \frac{1}{f(x)}$.

Esta $f$ $g$ ahora son tan deseado, ya que $f(x)g(x) = 1$ todos los $x$, por lo que su límite está definido en cualquier argumento, en particular en lo $x \to 0$.

Answer 3

Ni de $$\lim_{x\to0}\left(2+\sin{\frac1x}\right)$$ and $$\lim_{x\to0}\left(\frac{1}{2+\sin{\frac1x}}\right)$$ exists, but $% $ $\lim_{x\to0}\left(2+\sin{\frac1x}\right)\left(\frac{1}{2+\sin{\frac1x}}\right)=1.$

Answer 4

Que $f$ ser una función que toma valores entre $1$y (por ejemplo) $2$ tal que $\lim_{x\rightarrow c}f\left(x\right)$ no existe. Entonces está bien definido $g(x)=1/f(x)$ y $\lim_{x\rightarrow c}g\left(x\right)$ no existe. Esto mientras que $f(x)g(x)=1$ cada $x$.

Answer 5

Si usted acepta la divergencia, $f(x)=g(x)=1/x$ no tiene límite en $0$ y $1/x^2$ diverge a infinito como $x$ va a $0$.