Infinitamente muchos prime $n$de % que $n^2 = p + 8$ % primer $p$.

Question

¿Cómo probar que existen un número infinito de primera $n$ que $n^2=p+8$ % prime $p$?

Verificación de la forma $n^2=p+8$ donde $n$ y $p$ son unos $p$.

$$\begin{array}{|c|c|} \hline n & n^2 = 8 + p \\ \hline 11 & 121 = 8 + 113 \\ 23 & 529 = 8 + 521 \\ 31 & 961 = 8 + 953 \\ 37 & 1369= 8 + 1361 \\ \hline \end{matriz} $$

Answer 1

No se dispone de pruebas. No hay pruebas de que cualquier polinomio en una sola variable de tipo entero, de grado al menos dos, como su $n^2 - 8,$ tiene un número infinito de primos valores. En comparación, $n^2 - 8 m^2$ sin duda lo hace, pero esta es una función de dos variables de tipo integer.

El más conocido es $n^2 + 1$ . La gente sospecha que hay un número infinito de números primos de esta forma, pero ninguna prueba. Uno de los más eficientes, tales polinomios es $n^2 - n + 41,$ el valor es primordial para $1 \leq n \leq 40,$ entonces, parece dar relativamente frecuente de los números primos a partir de entonces siempre como $n \neq 0,1 \pmod {41},$ pero no podemos estar seguros acerca de los conjuntos infinitos de números primos con esto. Ver http://en.wikipedia.org/wiki/Formula_for_primes#Prime_formulas_and_polynomial_functions

Bien, las necesidades de énfasis; la gente tiene sospechas acerca de una variable polinomios y números primos, http://en.wikipedia.org/wiki/Bunyakovsky_conjecture pero no hay pruebas todavía están disponibles para cualquier problema de este tipo. No hay pruebas de que se espera para el futuro previsible. Esto no es lo mismo que decir que algo es improbable, no sé de ninguna de las conjeturas en el día a día de la teoría de los números que han demostrado ser improbable. Hay una pequeña colección de declaraciones en la teoría de conjuntos, el que yo recuerdo, siendo La Hipótesis continua, donde no puede haber ninguna prueba porque la instrucción es independiente de los otros axiomas. Así, el hombre se puso la Medalla Fields por que, lo que no sucede todos los días. Supongo que es válido decir que El Postulado Paralelo es independiente de los otros axiomas de la geometría del plano y no demostrable, ya que existe el hiperbólico/no-Euclidiana del plano.

Answer 2

Tu pregunta es equivalente a hay infinitamente muchos $m$ que:

$2n^2 + 2(n - 2) = m,\ $ $2n + 1,\ 2m+1$ Dónde está primer.

Tales como: $n=3, \ 2n^2 + 2(n - 2) = 20,(2 \cdot 3+1)^2=7^2=49=2 \cdot 20+1+8=41+8,\ $ $7,41$ Dónde está primer. Parece que esta es una pregunta elemental.