Cómo minimizar $x^2+4xy+5y^2-4x-6y+7$ sin usar cálculo

Question

Me gustaría encontrar el menor valor posible de la función

$$f(x,y)=x^2+4xy+5y^2-4x-6y+7$$

sin tomar cualquiera de los derivados. Mis pensamientos eran para completar el cuadrado en ambos $x$ $y$ y elegir los valores adecuados para hacer que el no negativo términos cuadrados igual a $0$. Completando el cuadrado dos veces la función se convierte en

$$\left(x+2y \right)^2 + \left(y-3 \right)^2-4x-2$$

Y entonces parece apropiado llevar a $x=-2y$$y=3$. Estos valores no parecen ser minimizers a pesar de que, como el cálculo y el gráfico siguiente se puede comprobar. La minimización de los valores parecen ser $y=-1$ $x=4$ lugar.

He hecho algo mal en la anterior?

Gracias.

Answer 1

Escribir así:

$$(y+1)^2+(x+2y-2)^2+2.$$

Answer 2

Aquí es una alternativa. Cuando veas que hay un % extra $x$término, puede hacer un cambio de la variable $u=x+2y$ y $v=y-3$. Entonces $x=u-2y=u-2(v+3)$. Entonces la ecuación puede ser cambiada en

$$u^2+v^2-4u+8v+22$$

Usando esto que usted puede hacer otro normal completando el cuadrado.