Para resolver este límite: $\lim\limits_{x\to\infty}\frac{x^{x+1/x}}{(x+1/x)^x}$

Question

$$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{x^{x+1/x}}{(x+1/x)^x}$$

He probado un montón de cosas, como:

• transformar los términos: $$\frac{e^{(x+1/x)\ln(x)}}{e^{x\ln(x+1/x)}}$ $

• entonces traté de regla de L'Hôpital pero sólo se hacía más complejo

• Yo también hacía, como: $$e^{(x+1/x)\ln(x)-x\ln(x+1/x)}$ $
• Por último, he intentado "exprimir" pero no pude encontrar la función perfecta para eso.

Espero que esto no es un duplicado porque he buscado pero no pude encontrar un puesto similar.

Answer 1

Reescribir el límite como $$L = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^{\frac{x^2 + 1}{x}}}{\left(\frac{x^2 + 1}{x}\right)^x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^{\frac{2x^2 + 1}{x}}}{(x^2 + 1)^x} = \lim_{x \to +\infty} e^\ell,$ $ donde $ de $$\require{cancel}\ell = \frac{2x^2 + 1}x\ln x - x\ln(x^2 + 1) = \cancel{2x\ln x} + \frac1x\ln x - \cancel{2x\ln x} - x\ln\left(1 + \frac1{x^2}\right).$ desde $\ell \to 0$ y $\exp(x)$ son continua, podemos concluir que el límite es de $1$.

Answer 2

Puede reescribir la función como $$ \left(\frac{x}{x+1/x}\right) ^ {\!x} x ^ {1 / x} = \left (\frac {x ^ 2} {x ^ 2 + 1} \right) ^ {\!x} x ^ {1 / x} $$ ahora $$ \lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}\log x = 0 $$ para \lim_{x\to\infty}x^{1/x}=1 $$ $$ y sólo necesita calcular $$ \ x\log\frac lim_ {x\to\infty} {x ^ 2} {x ^ 2 + 1} = - \lim_{x\to\infty}x\log\frac{x^2+1}{x^2}=-\lim_{t\to0^+}\frac{\log(1+t^2)} {t} =-\lim_{t\to0^+}\frac{t^2+o(t^2)} {t} = 0 $$ también $$ \lim_{x\to\infty}\left(\frac{x^2}{x^ 2 + 1} \right) ^ {\!x} = 1 $$