El estándar contraejemplo es el campo de la $F$ de finitely-cola Laurent de la serie sobre $\mathbb{R}$: serie de la forma $\sum a_n t^n$ donde $a_n \in \mathbb{R}$, exponentes $n \in \mathbb{Z}$, pero con sólo un número finito de exponentes negativos (es decir, $a_n = 0$ para todos, pero un número finito de los números enteros negativos $n$.)
La adición y la multiplicación son definidos como para la alimentación de la serie; se debe verificar que el "un número finito de exponentes negativos" es condición imprescindible para asegurar que la multiplicación de finitely-cola Laurent serie está bien definido. Compruebe que no-cero elementos de $F$ tienen inversos multiplicativos: una serie que comienza con $a_n t^n$ tiene una inversa que se inicia con $a_n^{-1} t^{-n}$. (Aquí, y a continuación, cuando digo que un elemento distinto de cero de a $F$ comienza con $a_n t^n$, me refiero a que $n$ es el menor entero para que $a_n \ne 0$.)
El pedido se define de la siguiente manera: Un elemento es positivo si su partida término tiene coeficiente positivo. Es fácil comprobar que: (1) para cada valor distinto de cero $x \in F$, exactamente uno de $x$ $-x$ es positivo; (2) la suma y el producto de 2 elementos positivos es positivo.
Por lo $F$ es un orden de campo. Tenga en cuenta que $F$ es no Arquímedes: $t^{-1}$ es mayor que cualquier número entero. El campo $F$ también no satisface la menor cota superior de la propiedad: $t^{-1}$ es un límite superior para los enteros, pero no es menos límite superior (comprobar que si $x$ es un límite superior, a continuación, $x/2$ es la más pequeña.)
Para hablar de Cauchy integridad, tenemos que poner una métrica en $F$, como sigue. Elija cualquier número real positivo $q>1$. Si un elemento distinto de cero $x \in F$ comienza con $a_n t^n$, a continuación, defina $|x| = q^{-n}$ (y, por supuesto, definir $|0|=0$) y, a continuación, definir la distancia entre el$x$$y$$|x-y|$. Compruebe que este es un espacio métrico. (Advertencia: Esto no prorrogar el actual métrica en $\mathbb{R}$; todos los números reales tienen el mismo tamaño bajo esta métrica.) De hecho, hace $F$ en valores de campo; tenemos $|xy| = |x||y|$.
Este es un "no-Arquímedes" métrica porque satisface la fuerte desigualdad de triángulo $d(x,z) \le \max(d(x,y), d(y,z))$. Para un no-Arquímedes métrica, una secuencia de Cauchy iff $|x_n - x_{n+1}| \to 0$$n \to \infty$.
Para demostrar que $F$ es completa bajo esta métrica, tenga en cuenta que para una secuencia de Cauchy en $F$, los coeficientes fijos exponente $t^n$ debe ser eventualmente constante; de lo contrario, la diferencia entre términos consecutivos no podría ser más pequeño que el de $q^{-n}$. Llamar a esta constante $a_n$; a continuación, la secuencia de Cauchy converge a $\sum a_n t^n$.
