¿Qué significa cizalla?

Question

A mi entender, el gradiente de un campo vectorial puede descomponerse en partes que se relacionan con la divergencia, el rizo y el cizallamiento de la función. Entiendo lo que son la divergencia y el rizo (tanto computacional como geométricamente), pero ¿qué significa cizalla en este contexto? ¿Está relacionada con la mapeo de cizalla que se utiliza en el Álgebra Lineal? ¿Qué significa realmente y cómo lo usamos?

Answer 1

Consideremos un pequeño bloque en el fluido con longitudes de borde $a,b,c$ . La velocidad en el origen es $\vec{v}=(u,v,w)$ . Con la ayuda de una expansión en serie de Taylor podemos escribir aproximadamente la velocidad en $\vec{r} = (a,b,c)$ como: $$ \vec{v}_P = \vec{v}(\vec{r}) = \vec{v}(a,b,c) \approx \vec{v} + \frac{\partial \vec{v}}{\partial x}a + \frac{\partial \vec{v}}{\partial y}b + \frac{\partial \vec{v}}{\partial z}c \\ = \vec{v} + \left(\vec{\nabla} \vec{v}\right)^T\vec{r} \quad \mbox{with} \quad \vec{r} = \begin{bmatrix}a \\ b \\ c\end{bmatrix} $$ y $$ \left(\vec{\nabla} \vec{v}\right) = \large \begin{bmatrix} \frac{\partial u}{\partial x} & \frac{\partial v}{\partial x} & \frac{\partial w}{\partial x} \\ \frac{\partial u}{\partial y} & \frac{\partial v}{\partial y} & \frac{\partial w}{\partial y} \\ \frac{\partial u}{\partial z} & \frac{\partial v}{\partial z} & \frac{\partial w}{\partial z} \end{bmatrix} $$ El gradiente de las velocidades $\left(\vec{\nabla} \vec{v}\right)$ puede dividirse en una parte diagonal una parte simétrica (con traza cero) y una parte antisimétrica: $$ \left(\vec{\nabla} \vec{v}\right) = \large \begin{bmatrix} \frac{\partial u}{\partial x} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\partial v}{\partial y} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\partial w}{\partial z} \end{bmatrix} \\ + \large \begin{bmatrix} 0 & \frac{1}{2}\left(\frac{\partial v}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial y}\right) & \frac{1}{2}\left(\frac{\partial w}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial z}\right)\\ \frac{1}{2}\left(\frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial v}{\partial x}\right) & 0 & \frac{1}{2}\left(\frac{\partial w}{\partial y} + \frac{\partial v}{\partial z}\right) \\ \frac{1}{2}\left(\frac{\partial u}{\partial z} + \frac{\partial w}{\partial x}\right) & \frac{1}{2}\left(\frac{\partial v}{\partial z} + \frac{\partial w}{\partial y}\right) & 0 \end{bmatrix} \\ + \large \begin{bmatrix} 0 & \frac{1}{2}\left(\frac{\partial v}{\partial x} - \frac{\partial u}{\partial y}\right) & \frac{1}{2}\left(\frac{\partial w}{\partial x} - \frac{\partial u}{\partial z}\right) \\ \frac{1}{2}\left(\frac{\partial u}{\partial y} - \frac{\partial v}{\partial x}\right) & 0 & \frac{1}{2}\left(\frac{\partial w}{\partial y} - \frac{\partial v}{\partial z}\right) \\ \frac{1}{2}\left(\frac{\partial u}{\partial z} - \frac{\partial w}{\partial x}\right) & \frac{1}{2}\left(\frac{\partial v}{\partial z} - \frac{\partial w}{\partial y}\right) & 0 \end{bmatrix} $$ La divergencia (o dilatación) se reconoce en la primera matriz, la rastrear de esa matriz para ser precisos. La rotación (rizo) se reconoce en la tercera matriz. En aras de la exhaustividad, pon: $$ \vec{\omega} = \begin{bmatrix} \omega_x \\ \omega_y \\ \omega_z \end{bmatrix} = \large \begin{bmatrix} \frac{\partial w}{\partial y} - \frac{\partial v}{\partial z} \\ \frac{\partial u}{\partial z} - \frac{\partial w}{\partial x} \\ \frac{\partial v}{\partial x} - \frac{\partial u}{\partial y} \end{bmatrix} $$ entonces el vector que representa la rotación se convierte en $$ \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 0 & \omega_z & -\omega_y \\ -\omega_z & 0 & \omega_x \\ \omega_y & - \omega_x & 0 \end{bmatrix}^T \begin{bmatrix} a \\ b \\ c \end{bmatrix} = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} \omega_y c - \omega_z b \\ \omega_z a - \omega_x c \\ \omega_x b - \omega_y a \end{bmatrix} = \frac{1}{2} \vec{\omega} \times \vec{r} $$ Así que la velocidad angular de rotación del fluido es la mitad $\times\, \vec{\omega}$ .
Pero concentrémonos ahora en el cizalla (o distorsión), tal y como pide el OP. Considere uno de los términos, tome $\large \frac{1}{2}\left(\frac{\partial v}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial y}\right)$ , en dos dimensiones para simplificar.

Durante un tiempo $dt$ una partícula fluida (cuadrada) es transportada en el plano. Entonces $\large \left(\frac{\partial v}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial y}\right)$ es la velocidad de cambio de los dos ángulos, como se muestra en la imagen. (Observa también que los ángulos, digamos $\phi$ son muy pequeños, por lo que $\,\tan(\phi) \approx \phi$ ) La partícula de fluido se deforma con esto. Por lo tanto, la matriz simétrica (sin trazos) también se conoce como tensor de deformación . El tensor de deformación contiene medio el velocidades de deformación de una partícula de fluido.

EDITAR. Al menos eso es lo que nos ha enseñado un viejo lector. Pero no estoy satisfecho con la última imagen. Debe haber una forma más sencilla de verlo. Vamos a deshacernos de las derivadas parciales en primer lugar lugar,
empleando Teorema de Green : $$ \iint \left( \frac{\partial M}{\partial x} - \frac{\partial L}{\partial y} \right) dx\,dy = \oint \left( L\,dx + M\,dy \right) $$ Cuando se especifica para nuestros tres casos especiales, se lee: $$ \begin{cases} \mbox{divergence :} & \large \iint \left( \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} \right) dx\,dy = \oint \left( -v \,dx + u \,dy \right) \\ \mbox{curl :} & \large \iint \left( \frac{\partial v}{\partial x} - \frac{\partial u}{\partial y} \right) dx\,dy = \oint \left( u \,dx + v \,dy \right) \\ \mbox{shear : } & \large \iint \left( \frac{\partial v}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial y} \right) dx\,dy = \oint \left( - u \,dx + v \,dy \right) \end{cases} $$ Una imagen dice más que mil palabras:

Trabajar la parte de cizallamiento por separado - realizar la adición de vectores $\,(\pm u,\pm v)\,dt\,$ - resultados en:

BONO. Aún así, vamos a verlo de otra manera más "avanzada": Serie de mentiras .
Una partícula de fluido cuadrada (2-D) se transforma un poco en un cuadrilátero arbitrario, debido a gradientes de velocidad, en general con una transformación $dT$ del siguiente tipo: $$ dT = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} dt $$ Si suponemos que esta transformación se produce repetidamente, en un lapso de tiempo $t$ , digamos que $N$ veces. Entonces $dt = t/N$ y: $$ dT^N = \left(\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \frac{t}{N}\right)^N $$ El límite de esta transformación para $N \to \infty$ es: $$ T = \lim_{N\to\infty} dT^N = \Large e^{t \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}} $$ En la parte principal de la respuesta actual, hemos dividido la transformación general (infinitesimal) $\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ en tres partes, así: $$ \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & 0\\ 0 & d \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & (b+c)/2 \\ (b+c)/2 & 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & (b-c)/2 \\ -(b-c)/2 & 0 \end{bmatrix} $$ Consideremos el efecto acumulado de que cada una de estas transformaciones se produzca repetidamente y por separado. Sea $p=(b+c)/2$ y $\omega=(b-c)/2$ , ambos constantes, entonces: $$ \begin{cases} D = \Large e^{t \begin{bmatrix} a & 0 \\ 0 & d \end{bmatrix}} & \mbox{: divergence} \\ S = \Large e^{t \begin{bmatrix} 0 & p \\ p & 0 \end{bmatrix}} & \mbox{: shear} \\ \Omega = \Large e^{t \begin{bmatrix} 0 & \omega \\ -\omega & 0 \end{bmatrix}} & \mbox{: curl} \end{cases} $$ La conocida expansión en serie de $e^x$ se empleará para nuestro propósito: $$ D = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} + t \begin{bmatrix} a & 0 \\ 0 & d \end{bmatrix} + \frac{1}{2} t^2 \begin{bmatrix} a^2 & 0 \\ 0 & d^2 \end{bmatrix} + \cdots = \begin{bmatrix} e^{ta} & 0 \\ 0 & e^{td} \end{bmatrix} $$ El resultado es un transformación de la escala . Los bordes de la partícula cuadrada de fluido se amplían con factores $e^{ta}$ y $e^{td}$ en la dirección x- y y- respectivamente. El cambio de volumen total es el determinante $e^{t(a+d)}$ con $\;a+d = \partial u/\partial x+\partial v/\partial y$ . $$ \Omega = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} + (\omega t) \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix} + \frac{1}{2} (\omega t)^2 \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} + \frac{1}{3!} (\omega t)^3 \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} + \cdots \\ = \begin{bmatrix} 1 - (\omega t)^2/2! + \cdots & (\omega t) - (\omega t)^3/3! + \cdots \\ - (\omega t) + (\omega t)^3/3! + \cdots & 1 - (\omega t)^2/2! + \cdots \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos(\omega t) & \sin(\omega t) \\ -\sin(\omega t) & \cos(\omega t) \end{bmatrix} $$ El resultado es una continua rotación con velocidad angular $\omega$ . Por último, pero no menos importante: cizalla . $$ S = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} + (p t) \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} + \frac{1}{2} (p t)^2 \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} + \frac{1}{3!} (p t)^3 \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} + \cdots \\ = \mbox{in very much the same way} = \begin{bmatrix} \cosh(p t) & \sinh(p t) \\ \sinh(p t) & \cosh(p t) \end{bmatrix} $$ El resultado es un cuadrilátero que se ha (des)formado de la siguiente manera: $$ \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} \to \begin{bmatrix} \cosh(p t) \\ \sinh(p t) \end{bmatrix} \quad ; \quad \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \to \begin{bmatrix} \sinh(p t) \\ \cosh(p t) \end{bmatrix} $$ Realiza un sencillo croquis para ver que efectivamente se trata de un deformación . El volumen de la partícula de fluido es invariable bajo esta transformación debido a $$ \begin{vmatrix} \cosh(p t) & \sinh(p t) \\ \sinh(p t) & \cosh(p t) \end{vmatrix} = \cosh^2(p t) - \sinh^2(p t) = 1 $$

Answer 2

La descomposición es:

$\nabla_i v_j=\frac 12\varepsilon_{ijk}(\nabla\times v)_k+\frac 1n(\nabla\cdot v)\delta_{ij}+\left(\frac{\nabla_i v_j+\nabla_j v_i}{2}-\frac 1n(\nabla\cdot v)\delta_{ij}\right)$

El último término es el que nos importa. Es simétrico y no tiene trazas. Consideremos una base en la que sea diagonal. Por ejemplo, podría ser $\mathop{diag}(-3,1,2)$ . Imagina $v$ es el campo de velocidad de un fluido. Este término representaría que el fluido se comprime a lo largo de la dirección x y se extiende en las direcciones y y z (el doble en la dirección z).

Un ejemplo de campo, $v$ sin rizo ni divergencia, pero con este último término como $\mathop{diag}(-3,1,2)$ sería $v=(-3x_1,x_2,2x_3)$ .