He aquí otra manera de pensar acerca de la "línea al infinito" y los "puntos en el infinito"...
Creo que de los habituales $XY$-plano como sentado en el interior de $3$-espacio, pero en lugar de sentarse en su lugar habitual, $\{(x,y,0) : x,y\in\mathbb{R}\}$, cambio por $1$, de modo que se sienta como el $z=1$ plano.
Ahora, usted está sentado en el origen con un muy potente puntero láser. Cuando quieras un punto en el $XY$-avión, el brillo de su puntero láser en ese punto. Por lo tanto, si desea que el punto de $(x,y)$, en realidad está apuntando el puntero láser en el punto de $(x,y,1)$; puesto que usted está sentado en el origen, el rayo láser describe un (a la mitad) de la línea, unirse a $(0,0,0)$$(x,y,1)$.
Ahora, por ejemplo, mirar el punto de $(x,0,1)$, e imagine $x$ mayor. El ángulo de su puntero láser hace con el $z=0$ avión se hace más y más pequeño, hasta que "como $x$ va al infinito", el puntero láser es simplemente señalando a lo largo de la línea de $x$ eje (en el punto de $(1,0,0)$), y lo mismo sucede si dejas $x$$-\infty$. Más generalmente, si usted comienza señalando los puntos que están más lejos y más lejos de la "origen" en su avión (lejos de $(0,0,1)$), el láser de haz de ángulo con $Z=0$ se hace más pequeño y más pequeño, hasta que, "en el límite", como $||(x,y)||\to\infty$, se termina con el rayo láser apuntando a lo largo de la $z=0$ plano en alguna dirección. Podemos representar a la dirección con la pendiente de la línea, por lo que estamos apuntando a $(1,m,0)$ algunos $m$ (o tal vez a $(-1,-m,0)$, pero que es la misma dirección), o tal vez hasta el punto de $(0,1,0)$. Así que "agregar" estos "puntos en el infinito" (llamado así porque los vamos a recibir por dejar que el punto que estamos brillante el haz de láser a "ir hasta el infinito"), uno para cada dirección de distancia desde el "origen": $(1,m,0)$ arbitrarias $m$ para rectas no verticales, y $(0,1,0)$ correspondiente a la dirección de $x=0$, $y\to\pm\infty$.
Así: la "costumbre", afín a los puntos, son los que están en el $z=1$ plano, y que corresponden a los rayos láser que viene desde el origen; cada una de ellas es de la forma $(x,y,1)$ algunos $x,y$$\mathbb{R}$. Además, para cada "dirección" queremos incluir que la limitación de rayo láser que hace que no se cruzan el plano de $z=1$; corresponden a los puntos de $(1,m,0)$, o el punto de $(0,1,0)$ cuando se haga con la línea de $x=0$. Así, obtenemos un punto por cada real $m$, $(1,m,0)$, y otro para $(0,1,0)$. Usted está agregando un punto por cada dirección de las líneas a través del origen; estos puntos son "los puntos en el infinito", y juntos forman la "línea en el infinito".
Ahora, ponga su curva elíptica/polinomio $F=Y^2 - X^3 - aX-b$, y dibujar los puntos que le correspondan en el $z=1$ plano; esa es la "afín a la pieza" de la curva. Pero, ¿usted también alguna de los "puntos en el infinito"?
Así, a pesar de que estamos pensando en los puntos como en el $XY$-plane, que "realmente" están en el $Z=1$ plano, con lo que nuestra ecuación en realidad tiene un "oculto" $Z$ que hemos perdido de vista cuando se evaluó en $Z=1$. Utilizamos la homogeneización $f = Y^2Z - X^3 - aXZ^2 - bZ^3$ a encontrarlo. ¿Por que? Bueno, para cualquier punto fijo $(x,y,1)$ en nuestro "$XY$-plano", el puntero láser de puntos a todos los puntos de la forma $(\alpha x,\alpha y,\alpha)$. Si fuéramos a cambio de nuestra copia del plano de$Z=1$$Z=\alpha$, vamos a querer a escala de todo, por lo que todavía se corresponda con lo que estoy de seguimiento desde el origen; esto requiere que cada monomio tiene el total del mismo grado, que es la razón por la que hemos puesto en los factores de $Z$ para completar el grado $3$, el más pequeño de podemos (lo que es más grande le dará el punto de $(0,0,0)$ como solución, y nos hacen necesita para mantenerse lejos de que debido a que no apunte el puntero láser en el ojo).
Una vez que hacemos eso, nos encontramos con las "instrucciones", que corresponden también a nuestra curva mediante el establecimiento $Z=0$ y problemas, para encontrar los puntos de $(1,m,0)$ $(0,1,0)$ que también se encuentran en nuestra curva. Pero el único que funciona es $(0,1,0)$, que es la razón por la curva elíptica $F$ sólo tiene un "punto en el infinito".
