Curvas elípticas y puntos en el infinito

Question

Mi pregrado número de clase de teoría decidió sumergirse en un poco de geometría algebraica para terminar el semestre. Estoy teniendo problemas para entender esto de los bits de información que el instructor presenta en sus notas.

Aquí es en paráfrasis (suponemos que a través de un campo de resumen k)

Nos tomamos un polinomio en k, $f =Y^2 - X^3 -aX -b$ y homogeneizar el polinomio a $F = Y^2Z - X^3 -aXZ^2 - bZ^3$. Tenga en cuenta que los puntos en el infinito de V(F) consistan de triples $[\alpha : \beta : 0]$ s.t $-\alpha^3 = 0$, por lo tanto el único punto en el infinito es $[0 : 1 :0]$

La parte estoy confundido acerca de está en cursiva. Él introduce los términos "puntos en el infinito" sin definir. Después de algún tiempo google, entiendo lo que es un punto en el infinito significa, en el contexto de un espacio proyectivo/proyectiva de la línea, pero estoy teniendo problemas para entender cómo el profesor llegó a su conclusión sobre el punto en el infinito en este ejemplo en particular

Aquí está mi pregunta. En general, son todos los puntos en el lugar geométrico de los puntos de fuga para una homogénea polinomios considera los puntos en el infinito? Si no, hay un procedimiento general para el cálculo de estos puntos si se nos da un polinomio arbitrario?

De manera más abstracta, ¿Cómo entender que un determinado punto en el espacio proyectivo es un "punto en el infinito" para este polinomio.

Answer 1

He aquí otra manera de pensar acerca de la "línea al infinito" y los "puntos en el infinito"...

Creo que de los habituales $XY$-plano como sentado en el interior de $3$-espacio, pero en lugar de sentarse en su lugar habitual, $\{(x,y,0) : x,y\in\mathbb{R}\}$, cambio por $1$, de modo que se sienta como el $z=1$ plano.

Ahora, usted está sentado en el origen con un muy potente puntero láser. Cuando quieras un punto en el $XY$-avión, el brillo de su puntero láser en ese punto. Por lo tanto, si desea que el punto de $(x,y)$, en realidad está apuntando el puntero láser en el punto de $(x,y,1)$; puesto que usted está sentado en el origen, el rayo láser describe un (a la mitad) de la línea, unirse a $(0,0,0)$$(x,y,1)$.

Ahora, por ejemplo, mirar el punto de $(x,0,1)$, e imagine $x$ mayor. El ángulo de su puntero láser hace con el $z=0$ avión se hace más y más pequeño, hasta que "como $x$ va al infinito", el puntero láser es simplemente señalando a lo largo de la línea de $x$ eje (en el punto de $(1,0,0)$), y lo mismo sucede si dejas $x$$-\infty$. Más generalmente, si usted comienza señalando los puntos que están más lejos y más lejos de la "origen" en su avión (lejos de $(0,0,1)$), el láser de haz de ángulo con $Z=0$ se hace más pequeño y más pequeño, hasta que, "en el límite", como $||(x,y)||\to\infty$, se termina con el rayo láser apuntando a lo largo de la $z=0$ plano en alguna dirección. Podemos representar a la dirección con la pendiente de la línea, por lo que estamos apuntando a $(1,m,0)$ algunos $m$ (o tal vez a $(-1,-m,0)$, pero que es la misma dirección), o tal vez hasta el punto de $(0,1,0)$. Así que "agregar" estos "puntos en el infinito" (llamado así porque los vamos a recibir por dejar que el punto que estamos brillante el haz de láser a "ir hasta el infinito"), uno para cada dirección de distancia desde el "origen": $(1,m,0)$ arbitrarias $m$ para rectas no verticales, y $(0,1,0)$ correspondiente a la dirección de $x=0$, $y\to\pm\infty$.

Así: la "costumbre", afín a los puntos, son los que están en el $z=1$ plano, y que corresponden a los rayos láser que viene desde el origen; cada una de ellas es de la forma $(x,y,1)$ algunos $x,y$$\mathbb{R}$. Además, para cada "dirección" queremos incluir que la limitación de rayo láser que hace que no se cruzan el plano de $z=1$; corresponden a los puntos de $(1,m,0)$, o el punto de $(0,1,0)$ cuando se haga con la línea de $x=0$. Así, obtenemos un punto por cada real $m$, $(1,m,0)$, y otro para $(0,1,0)$. Usted está agregando un punto por cada dirección de las líneas a través del origen; estos puntos son "los puntos en el infinito", y juntos forman la "línea en el infinito".

Ahora, ponga su curva elíptica/polinomio $F=Y^2 - X^3 - aX-b$, y dibujar los puntos que le correspondan en el $z=1$ plano; esa es la "afín a la pieza" de la curva. Pero, ¿usted también alguna de los "puntos en el infinito"?

Así, a pesar de que estamos pensando en los puntos como en el $XY$-plane, que "realmente" están en el $Z=1$ plano, con lo que nuestra ecuación en realidad tiene un "oculto" $Z$ que hemos perdido de vista cuando se evaluó en $Z=1$. Utilizamos la homogeneización $f = Y^2Z - X^3 - aXZ^2 - bZ^3$ a encontrarlo. ¿Por que? Bueno, para cualquier punto fijo $(x,y,1)$ en nuestro "$XY$-plano", el puntero láser de puntos a todos los puntos de la forma $(\alpha x,\alpha y,\alpha)$. Si fuéramos a cambio de nuestra copia del plano de$Z=1$$Z=\alpha$, vamos a querer a escala de todo, por lo que todavía se corresponda con lo que estoy de seguimiento desde el origen; esto requiere que cada monomio tiene el total del mismo grado, que es la razón por la que hemos puesto en los factores de $Z$ para completar el grado $3$, el más pequeño de podemos (lo que es más grande le dará el punto de $(0,0,0)$ como solución, y nos hacen necesita para mantenerse lejos de que debido a que no apunte el puntero láser en el ojo).

Una vez que hacemos eso, nos encontramos con las "instrucciones", que corresponden también a nuestra curva mediante el establecimiento $Z=0$ y problemas, para encontrar los puntos de $(1,m,0)$ $(0,1,0)$ que también se encuentran en nuestra curva. Pero el único que funciona es $(0,1,0)$, que es la razón por la curva elíptica $F$ sólo tiene un "punto en el infinito".

Answer 2

El término "punto en el infinito" no es un término definido desde el punto de vista de su modelo proyectivo. Usted debe pensar de esta manera:

Supongamos que dado un polinomio homogéneo y que están interesados en su puesta a cero como un subconjunto del espacio proyectivo. El espacio proyectivo se compone de varios llamados afín a pedazos, y en consecuencia su puesta a cero se compone de varios afín piezas. Aquí es cómo trabaja: vamos a tomar el hormigón polinomio $F=Y^2Z - X^3-aXZ^2 - bZ^3$. Puesto que usted puede tomar en cualquier punto de $(x:y:z)$ la satisfacción de este polinomio y la escala de las coordenadas de no-cero escalar, $\alpha$, y el resultado sigue siendo el mismo punto, lo que puede ampliar el punto de $\alpha=z^{-1}$ y escribo como $(x/z,y/z,1)$. Pero ahora, usted tiene que tener cuidado: esto sólo funciona para los puntos, en que $z\neq 0$. Para aquellos puntos, que se ajuste a $z=1$, por lo que la resultante afín modelo está dado por el polinomio $f$ (solo set$Z=1$$F$).

Por otro lado, si $z$ pasó a ser 0, entonces usted ha intentado dividir por 0, por lo que en este sentido, se obtuvo un "punto en el infinito". Ahora, ¿cuál es este punto en el infinito? Set $Z=0$ $F$ y ver qué puntos de satisfacer el polinomio resultante. Para el polinomio 0, también es necesario $-X^3=0$, lo $X=0$. Ahora, ya que estamos en el espacio proyectivo, $Y$ no debe ser 0 (recordemos que (0:0:0) no es un punto en el espacio proyectivo), así que usted puede cambiar la escala de las coordenadas para que $Y=1$. Esa es su "punto en el infinito" para este particular afín pieza: $(X:Y:Z)=(0:1:0)$.

Pero el procedimiento no canónica. En lugar de eso, podría haber elegido a mirar las afín a la pieza de la $Y\neq 0$, dicen. Entonces, usted hubiera escrito todos los puntos en este afín modelo como $(x/y:1:z/y)$ y el dehomogenised polinomio habría sido diferente. También, los "puntos en el infinito" habría sido diferente, es decir, todos aquellos proyectiva puntos, para los que $Y=0$.

Espero que esto tiene sentido. De lo contrario, siéntase libre de pedir aclaraciones.